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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 6

Calcule ∫ ∫ D x   d x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v   d u d v

Onde usaremos:

x = u 2 - v 2

y = u v

Para podermos substituir dentro da equação que vai ser integrada.

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ u , v = det ⁡ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Então, colocamos os valores:

det ⁡ 2 u - 2 v v u = 2 u 2 + v 2

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q x ⋅ 2 u 2 + v 2 d u d v

Agora substituímos o x :

= ∫ ∫ Q u 2 - v 2 ⋅ 2 u 2 + v 2 d u d v

= 2 ∫ ∫ Q u 4 - v 4   d u d v

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

x = y 2 - 1

x = 1 - y 2

x = 4 - y 2 4

E a gente tem as equações:

x = u 2 - v 2

y = u v

Então nossa região em Q fica:

x = y 2 - 1

→ u 2 - v 2 = u 2 v 2 - 1

→ v 2 = 1 → v = ± 1

Vamos pras outras:

x = 1 - y 2

→ u 2 - v 2 = 1 - u 2 v 2

→ u 2 = 1 → u = ± 1

E:

x = 4 - y 2 4

→ u 2 - v 2 = 4 - u 2 v 2 4

→ u 2 = 4 → u = ± 2

Logo podemos escrever assim:

1 ≤ u ≤ 2

- 1 ≤ v ≤ 1

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = 2 ∫ - 1 1 ∫ 1 2 u 4 - v 4   d u d v

Integramos a primeira vez:

A = 2 ∫ - 1 1 u 5 5 - v 4 u 1 2   d v

= 2 ∫ - 1 1 2 5 5 - v 4 2 - 1 5 5 - v 4 1   d v

= 2 ∫ - 1 1 32 5 - 2 v 4 - 1 5 - v 4   d v

= 2 ∫ - 1 1 32 5 - 2 v 4 - 1 5 + v 4   d v

= 2 ∫ - 1 1 3 1 5 - v 4   d v

E integramos denovo:

A = 2 31 5 v - v 5 5 - 1 1

= 2 31 5 1 - 1 5 5 - 31 5 - 1 - - 1 5 5

= 2 31 5 - 1 5 - - 31 5 - - 1 5

= 2 30 5 + 30 5 = 2 ⋅ 60 5

= 120 5 = 24

E prontinho. 😊

Resposta

A = 24

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Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x - 2 y 3 x - yd A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas x - 2 y = 0, x - 2 y = 4, 3 x - y = 1, 3 x - y = 8
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R x + y e x 2 - y 2d A , onde R é o retângulo delimitado pelas retas x - y = 0, x - y = 2, x + y = 0, x + y = 3
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 x cos ⁡ x 2d yd x
Utilize a fórmula de mudança de variáveis e uma transformação adequada para calcular ∫ ∫ R x yd A , onde R é o quadrado com vértices ( 0 ,0 ) ,( 1 ,1 ) ,( 2 ,0 )e( 1 ,- 1 ) .
Defina a integral dupla de uma função de duas variáveis sobreuma região limitada no plano coordenado.