Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 4
Calcule , onde é a região do plano limitada por , , e .
Passo 1
Bom galera, a gente precisa calcular a área da região . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:
Onde usaremos:
Para podermos substituir dentro da equação que vai ser integrada.
Passo 2
Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:
Mas pra facilitar vamos usar o inverso disso:
Então, colocamos os valores:
Logo usaremos o inverso disso:
Passo 3
Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:
Substituimos as variáveis:
Passo 4
Então, delimitamos nossa região:
Onde nossa região é delimitada por:
E a gente tem as equações:
Então nossa região em fica:
Logo podemos escrever assim:
Passo 5
Por fim, montamos as integrais e calculamos:
Integramos a primeira vez:
E integramos denovo:
E prontinho. 😊