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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1d

Calcule

d) int int int_B sqrt(x + y) * sqrt(x + 2 * y - z) * d x * d y * d z onde B é a região 1 <= x + y <= 2 , 0 <= x + 2 * y - z <= 1 e 0 <= z <= 1 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e aparentemente precisara de uma transformação para outro tipo de coordenadas. Aplicando uma transformação para outro tipo de coordenadas, temos que

x + y = u

x + 2 * y - z = v

z = z

Com o jacobiano sendo d x * d y * d z = 1 * d u * d v * d z . Os novos intervalos de integração serão

1 <= u <= 2

0 <= v <= 1

0 <= z <= 1

Substituindo na integral, ficamos com

int int int_B x * d x * d y * d z = int_0^1 int_0^1 int_1^2 sqrt(u) * v^((1)/(3)) * d u * d v * d z = int_1^2 sqrt(u) * d u * int_0^1 v^((1)/(3)) * d v * int_0^1 d z =

= ((2)/(3) * sqrt(u^3))_1^2 * ((3)/(4) * v^((4)/(3)))_0^1 * (z)_0^1 = (2)/(3) * (2 * sqrt(2) - 1) * (3)/(4) = (1)/(2) * (2 * sqrt(2) - 1)

Resposta

int int int_B sqrt(x + y) * sqrt(x + 2 * y - z) * d x * d y * d z = (1)/(2) * (2 * sqrt(2) - 1)

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