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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 07

Utilize a transformacao no Exercicio 3 para calcular a integral

∫ R ∫ 3 x 2 + 14 x y + 8 y 2 d x d y

para a regiao R no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = – (3/2)x + 1, y = – (3/2)x + 3, y = – (1/4)x e y = – (1/4)x + 1.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Primeiro vamos desenhar o gráfico para a gente entender o funcionamento melhor da questão? Olha só se liga como ficou:

Resolvendo a integral na região R :

∫ R ∫ 3 x 2 + 14 x y + y 2   d x d y = ∫ R ∫ 3 x + 2 y x + 4 y   d x d y

∫ G ∫ u v   ∂ x , y ∂ u , v d u d v = 1 10   ∫ G ∫ u v   d u d v

Passo 2

Aqui para acha os limites de G a partir dos limites de R criei uma tabela para facilitar os entendimentos,

Com isso,

1 10   ∫ G ∫ u v d u d v = 1 10 ∫ 2 6 ∫ 0 4 u v d v d u = 1 10 ∫ 2 6 u   v 2 2 0 4 d u = 4 5 ∫ 2 6 u d u = 4 5   u 2 2 2 6 = 4 5   18 - 2 = 64 2

Resposta

64 2

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