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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 34

Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.

O sólido delimitado abaixo pelo hemisfério r   =   1 ,   z   ≥   0 e acima pela cardioide de revolução r   =   1   +   c o s ⁡ ( ϕ )

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Para auxiliar na explicação, temos:

E vendo a imagem vemos que o nosso queridão 0 ≤ θ ≤ 2 π , e nosso amado 0 ≤ ϕ ≤ π 2 e tendo já dado que 1 ≤ ρ ≤ 1 + c o s ⁡ ( ϕ ) . E tendo o Jacobiano das coordenadas esféricas como ρ 2 s e n ϕ , temos a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 1 1 + c o s ⁡ ( ϕ ) ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 s e n ϕ 3 ρ 3 1 1 + cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

∫ 0 2 π 1 3 ∫ 0 π 2 ( s e n ϕ 1 + cos 3 ⁡ ϕ - 1 d ϕ d θ

∫ 0 2 π 1 3 ∫ 0 π 2 ( ( 3 cos ⁡ ϕ + 3 cos 2 ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ )   s e n ( ϕ ) d ϕ d θ

∫ 0 2 π 1 3 3 ∫ 0 π 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ + 3 ∫ 0 π 2 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ + ∫ 0 π 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ 1 - s e n 2 ϕ d ϕ d θ

Passo 3

Vamos resolver cada item separadamente

Para:

3 ∫ 0 π 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

Façamos u = s e n ( ϕ ) logo d u = cos ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 0 e para ϕ = π 2 ,   u = 1

3 ∫ 0 1 u   d u

3 2 u 0 1 = 3 2

Para:

3 ∫ 0 π 2 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ

3 ∫ 0 π 2 s e n ϕ 1 - sen 2 ⁡ ϕ d ϕ

3 ∫ 0 π 2 s e n ϕ d ϕ - ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ d ϕ

O primeiro:

- cos ⁡ ϕ 0 π 2 = 1

O segundo:

Das técnicas de integração temos que:

∫ s e n n a x d x = ( - s e n n - 1 a x cos ⁡ a x a n + n - 1 n ∫ s e n n - 2 a x d x             n > 2 ,   a ≠ 0

Assim:

- s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ 3 0 π 2 + 2 3 ∫ 0 π 2 s e n ϕ d ϕ

2 3 - c o s 0 π 2 = 2 3

Assim:

3 1 - 1 3 = 1

Para:

∫ 0 π 2 s e n ( ϕ ) c o s ⁡ ( ϕ ) ( 1 - s e n 2 ϕ d ϕ

∫ 0 π 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ - ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

Para o primeiro:

Façamos u = s e n ( ϕ ) logo d u = cos ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 0 e para ϕ = π 2 ,   u = 1

∫ 0 1 u   d u

1 2 u 0 1 = 1 2

Para o segundo:

Façamos u = s e n ( ϕ ) logo d u = cos ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 0 e para ϕ = π 2 ,   u = 1

∫ 0 1 u 3 d u

1 4 u 4 0 1 = 1 4

Assim:

1 2 - 1 4 = 1 4

Assim, teremos:

∫ 0 2 π 1 3 3 2 + 1 + 1 4 d θ

11 12 ∫ 0 2 π d θ

11 12 θ 0 2 π

11 π 6

O que já era trivial de ser visto e feito desde o começo (é verdade esse bilhete e não contém ironia)

Resposta

11 π 6

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a massa e centro de massa de um hemisfério sólido com raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base.
Use coordenadas esféricas.Encontre o centroide do sólido do Exemplo 4 (assuma densidade constante K ). Encontre o momento de inércia ao redor do eixo z para esse sólido.
Use coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x 2 + y 2 ) d V , onde é E fica entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 .
Use coordenadas esféricas.Calcule ∭ E y 2 d V , onde E é o hemisfério sólido x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , y ≥ 0 .
Dentre as coordenadas cilíndricas e esféricas, utiliza a que lhe parecer mais apropriada.Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base a e altura h .Encontre o momento de inércia do cil