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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 26

Água em uma antena parabólica Uma antena parabólica

tem 2 m de largura e 1/2 m de profundidade. Seu eixo de simetria está inclinado 30 graus na vertical.

a. Monte, mas não calcule, uma integral tripla em coordenadas

retangulares que dê a quantidade de água que a antena parabólica comportará. (Sugestão: situe seu sistema de coordenadas de forma que a antena parabólica esteja na “posição

padrão” e o plano do nível de água seja inclinado.) (Aten-

ção: os limites de integração não são “fáceis”.)

b. Qual seria a menor inclinação da antena parabólica para que

ela não acumulasse água?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Uma antena parabólica possui 2 m de largura e 1 / 2 m de profudidade. Seu eixo de simetria é deslocado 30 graus na vertical. Sendo assim, temos que:(a) Montar, mas não resolver, a integral tripla em coordenadas retangulares que dirá o quanto de água a antena parabólica irá segurar.(b) Qual seria o menor deslocamento da antena parabólica de forma que ela não mantenha nenhuma água?

Passo 2

A equação para uma antena parabólica na posição padrão seria z = 1 2 x 2 + 1 2 y 2 . Como o eixo é inclinado 30 ∘ , um vetor unitário v = 0 i + a j + b k normal ao plano do nivel da água satisfaz:

b = v ⋅ k = c o s ⁡ π 6 = 3 2

Temos por outro lado também que:

a = - 1 - b 2 a = - 1 2

Passo 3

O vetor, portanto, é v = - 1 2 j + 3 2 k . Usando um ponto pertencente ao plano da antena parabólica, o 0,1 , 1 2 , podemos então encontrar uma equação para o plano do nível da água:

  - 1 2 ( y - 1 ) + 3 2 z - 1 2 = 0 z = 1 3 y + 1 2 - 1 3

Passo 4

Chegamos então em uma equação para o volume de água que permanece na parabólica, em R é o interior da elipse x 2 + y 2 - 2 3 y - 1 + 2 3 = 0 :

V = ∬ R   ∫ 1 2 x 2 + 1 2 y 2 1 3 y + 1 2 - 1 3   d z d y d x

Passo 5

Temos então que, quando x = 0 , então y = α ou y = β , onde:

α = 2 3 + 4 3 - 4 2 3 - 1 2 e β = 2 3 - 4 3 - 4 2 3 - 1 2

Passo 6

Temos então que o volume é dado pela fórmula:

V = ∫ α β     ∫ - 2 3 y + 1 - 2 3 y 2 2 3 y + 1 - 2 3 y 2     1 / 2 ∫ 1 2 x 2 + 1 2 y 2 1 3 y + 1 2 - 1 3   d z d y d x

Passo 7

Para x = 0 , temos que:

z = 1 2 y 2 d z d y = y

Já para y = 1 teremos:

d z d y = 1

Resposta

Então, a reta tangente possui uma inclinação de 45 ∘ . Assim, em 45 ∘ e em ângulos maiores, a parabólica não manterá água.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integraisa. ∫ 0 1 ∫ x 3 x f x , y d y d x
Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integraisb. ∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y
Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integraisc. ∫ 0 π 2 ∫ cos ⁡ x 1 f x , y d y d x
2. AS integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculosa. ∫ 0 1 ∫ y 1 e x 2 d x d
Utilize a transformação u = x - y ,v = x + y para avaliar ∫ ∫ R x - y x + yd A onde R é o quadrado com vértices 0 ,2 ,1 ,1 ,2 ,2 e1 ,3 .