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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 53

O valor médio de uma função f ( x , y , z ) em uma região sólida E é definido como

f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , z   d V

Onde V ( E ) é o volume de E . Por exemplo, se ρ é a função densidade, então ρ m e d é a densidade média de E .

Determine o valor médio da função f x , y , z = x y z no cubo com lados de comprimento L que está no primeiro octante, com um vértice na origem e arestas pararelas aos eixos coordenados.

Passo 1

Bom dia galera, temos que determinar o valor médio de uma função em um cubo de lado L que está no peimrio octante. O mais importante para iniciarmos é imaginar uma figura do tal cubo:

No cubo descrito, todas as variáveis estão no intervalo ( 0 , L ) . Pois cada lado do cubo tem comprimento L e nós sabemos que o volume de um cubo com lados L é V E = L 3 , Então basta substituirmos essas informações juntamente com f ( x , y , z ) na equação do f m e d .

Passo 2

Fazendo as substituições propostas acima. O valor médio da função no cubo será

f m e d = 1 L 3 ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L x y z   d x d y d z

Integrando em relação a x :

= 1 L 3 ∫ 0 L ∫ 0 L y z x 2 2 0 L   d y d z = 1 L 3 L 2 2 ∫ 0 L ∫ 0 L y z   d y d z

Integrando em relação a y

= 1 2 L ∫ 0 L z y 2 2 0 L   d z = 1 2 L L 2 2 ∫ 0 L z   d z

Integrando,po fim, em relação a z .

= L 4 z 2 2 0 L = L 3 8

Resposta

f m e d = L 3 8

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