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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 68

Para que valores de x a função g é contínua?

g (x) = {[[0 s e x é r a c i o n a l],[x s e x é i r r a c i o n a l]])

Passo 1

Falaeee, belezinha?

Então... nessa questão queremos encontrar os valores de x aonde a função g é contínua.

Para isso, iremos utilizar a definição de limite por epsilon e delta e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Nossa função g é contínua no 0 , pois - |x| <= g ( x ) <= |x| . Dessa forma

underset(x -> 0)(lim) - |x| <= underset(x -> 0)(lim) g ( x ) <= underset(x -> 0)(lim) |x|

Pelo teorema do confronto, temos que

0 <= g ( x ) <= 0

E assim, podemos concluir que g ( x ) é contínua no 0 .

Passo 3

Precisamos agora analisar os outros pontos aonde nossa função g ( x ) pode ser contínua.

Para a != 0 e delta > 0 , temos no intervalo ( a - delta , a + delta ) infinitos números racionais e irracionais.

Se g (a) = 0 ou g (a) = a , existem infinitos números x com 0 < |x - a| < delta e |g (x) - g ( a )| = (a)/(2) .

Dessa forma, o limite fica:

underset(x -> a)(lim) g ( x ) != g ( a )

E assim, nossa função g ( x ) não é contínua em nenhum ponto além do 0 .

Resposta

A função g ( x ) só é contínua no 0 , pois para qualquer outro valor de x , temos que:

underset(x -> a)(lim) g ( x ) != g ( a )

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