Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 47

A vat with 500 gallons of beer contains 4% alcohol (by volume). Beer with 6% alcohol is pumped into the vat at a rate of 5 galymin and the mixture is pumped out at the same rate. What is the percentage of alcohol after an hour?

Passo 1

A primeira coisa que temos que entender é o que o problema diz. Então temos um tanque com cerveja com 4 % de alcool que é tirado dele cerveja a uma taxa de 5 g a l m i n e ao mesmo tempo é reposto neste tanque a mesma taxa de 5 g a l m i n uma outra cerveja com outro teor alcoólico, 6%

Então temos que escrever essa equação diferencial dessa mistura de álcool

d V d t = V o l   e n t r a - V o l   s a i

d V d t =   6 % * 5 g a l m i n - V 500 * 5 g a l m i n    

Nós não sabemos como se comporta a mistura de álcool dentro do tanque então deixamos como função de Volume.

d V d t = 0,3 - V 100

Prontinho, agora sim podemos calcular

Passo 2

d V d t = 0,3 - V 100

d V d t = 30 - V 100

1 30 - V   d V = 1 100 d t

Agora vamos integrar em ambos os lados

∫ 1 30 - V   d V =   ∫ 1 100 d t

- ln ⁡ 30 - V = 1 100 t + C

30 - V = e -   1 100 t + C

V = 30 -   e -   1 100 t + C  

Prontinho. Conseguimos descrever como funciona nosso volume de álcool no tanque. Temos também dados de contorno que nos ajudam a achar C

V 0 = 20

20 = 30 -   e -   1 100 * 0 + C

e - C = 10

- C = ln ⁡ 10  

  C =   - ln ⁡ 10

Logo podemos escrever nossa função como

V = 30 -   e -   1 100 t - ln ⁡ 10  

Para a gente agora descobrir a percentagem de álcool é só dividirmos pelo total de galões e multiplicar por 100.

p t = V * 100 500 → p = V 5

p ( t ) = 6 - 1 5 e -   1 100 t - ln ⁡ 10  

Onde esse t é medido em minutos. Depois de uma hora teremos

P 60 = 6 - 1 5 e -   1 100 * 60 - ln ⁡ 10  

p 60 ≈ 4,9 %

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

p 60 ≈ 4,9 %

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.17. y ' t g x = a + y y π 3 = a 0xπ / 2
Resolva a equação diferencial.4 - y^' = y^2 s e n x
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.12. d y d x = y c o s x 1 + y 2y 0 = 1
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.16. x y ' + y = y 2 y 1 = - 1
Resolva a equação diferencial.7. (d y)/(d t) = (t e^t)/(y sqrt(1 + y^2))