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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 30a

Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ x   e ∂ z ∂ y .

a) x 3 y 2 + x 3 + z 3 - z = 1

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que z = f ( x , y ) é definida pela equação F x , y , z = 0 . Assim,

F x , y , z = x 3 y 2 + x 3 + z 3 - z - 1

A derivada da função F é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0

d z d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ x = 3 x 2 y 2 + 3 x 2

∂ F ∂ z = 3 z 2 - 1

Passo 2

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ x :

∂ z ∂ x = - 3 x 2 y 2 + 3 x 2 3 z 2 - 1

Passo 3

A derivada da função F em relação à y é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ y + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ y + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ y = 0

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ y = 2 x 3 y

∂ F ∂ z = 3 z 2 - 1

Passo 4

Assim, calculando a derivada ∂ z ∂ y :

∂ z ∂ y = - 2 x 3 y 3 z 2 - 1

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ z ∂ x = - 3 x 2 y 2 + 3 x 2 3 z 2 - 1

∂ z ∂ y = - 2 x 3 y 3 z 2 - 1

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Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:l) f x , y = x 3 y x 2 + y 2 , ( x ,y ) ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 )
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:d) f x , y = y 4 + 3 x 2 y 2 + 2 y x 3 x 2 + y 2 2 ,( x , y ) ≠ ( 0,0 )0 , x , y = ( 0,0 )
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:a) f x , y = x 2 y + x y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:i) z = y x
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:b) z = e x y 2