11. Seja z = f(u - v, v - u) . Verifique que

∂z/∂u + ∂z/∂v = 0

Passo 1

Pra começar, vamos escrever nossa função em termos de x e y . Inicialmente, temos o seguinte:

z = f ( u -   v ,   v - u ) .

Mudando para x e y :

x = u - v

Derivando em relação a u :

∂ x ∂ u = 1

Derivando em relação a v :

∂ x ∂ v = - 1

Para o y :

y = v - u

Derivando em relação a u :

∂ y ∂ u = - 1

Derivando em relação a v :

∂ y ∂ v = 1

Passo 2

z = f x , y

Agora vamos encontrar ∂ z ∂ u :

∂ z ∂ u = ∂ f x , y ∂ x ∂ x ∂ u +   ∂ f x , y ∂ y ∂ y ∂ u

Do Passo 1, temos:

∂ x ∂ u = 1 e ∂ y ∂ u = - 1

Logo,

∂ z ∂ u = ∂ f x , y ∂ x - ∂ f x , y ∂ y

Passo 3

Por fim, vamos encontrar ∂ z ∂ v :

∂ z ∂ v = ∂ f x , y ∂ x ∂ x ∂ v +   ∂ f x , y ∂ y ∂ y ∂ v

Pegando o que achamos no Passo 1:

∂ x ∂ u = - 1   e ∂ y ∂ u = 1

Substituindo, temos:

∂ z ∂ v = - ∂ f x , y ∂ x +   ∂ f x , y ∂ y

Passo 4

Agora vamos verificar o que ele nos disse!

∂ z ∂ u + ∂ z ∂ v

Do Passo 2 e 3, temos:

∂ z ∂ u + ∂ z ∂ v = ∂ f x , y ∂ x - ∂ f x , y ∂ y + - ∂ f x , y ∂ x +   ∂ f x , y ∂ y  

Portanto,

∂ z ∂ u + ∂ z ∂ v = 0

Num é que era verdade?! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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