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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 11

11. Seja z = f ( u - v , v - u ) . Verifique que

(del z)/(del u) + (del z)/(del v) = 0

Passo 1

Pra começar, vamos escrever nossa função em termos de x e y . Inicialmente, temos o seguinte:

z = f ( u - v , v - u ) .

Mudando para x e y :

x = u - v

Derivando em relação a u :

(del x)/(del u) = 1

Derivando em relação a v :

(del x)/(del v) = - 1

Para o y :

y = v - u

Derivando em relação a u :

(del y)/(del u) = - 1

Derivando em relação a v :

(del y)/(del v) = 1

Passo 2

z = f (x , y)

Agora vamos encontrar (del z)/(del u) :

(del z)/(del u) = (del f (x , y))/(del x) (del x)/(del u) + (del f (x , y))/(del y) (del y)/(del u)

Do Passo 1, temos:

(del x)/(del u) = 1 e (del y)/(del u) = - 1

Logo,

(del z)/(del u) = (del f (x , y))/(del x) - (del f (x , y))/(del y)

Passo 3

Por fim, vamos encontrar (del z)/(del v) :

(del z)/(del v) = (del f (x , y))/(del x) (del x)/(del v) + (del f (x , y))/(del y) (del y)/(del v)

Pegando o que achamos no Passo 1:

(del x)/(del u) = - 1 e (del y)/(del u) = 1

Substituindo, temos:

(del z)/(del v) = - (del f (x , y))/(del x) + (del f (x , y))/(del y)

Passo 4

Agora vamos verificar o que ele nos disse!

(del z)/(del u) + (del z)/(del v)

Do Passo 2 e 3, temos:

(del z)/(del u) + (del z)/(del v) = ((del f (x , y))/(del x) - (del f (x , y))/(del y)) + (- (del f (x , y))/(del x) + (del f (x , y))/(del y))

Portanto,

(del z)/(del u) + (del z)/(del v) = 0

Num é que era verdade?! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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