Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

Passo 1

Fala aí, tudo joia? O enunciado nos deu o seguinte limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

A gente pode determinar o limite testando dois caminhos diferentes. Se os limites forem iguais, então ele existe.

Mas neeesse caso aqui, antes de podermos testar isso, podemos simplesmente simplificar a expressão dentro do limite para ver se cai em algum conhecido.

Bora lá?!! 😉

Passo 2

Da nossa função, temos:

f x , y = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

Multiplicando em cima e embaixo por x 2 + y 2 + 1 + 1 , teremos:

f x , y = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1 ⋅ x 2 + y 2 + 1 + 1   x 2 + y 2 + 1 + 1  

Multiplicando os denominadores, obtemos:

f x , y = x 2 + y 2 ⋅ ( x 2 + y 2 + 1 + 1 ) x 2 + y 2 + 1 - 1

Resolvendo o denominador, temos:

f x , y = x 2 + y 2 ⋅ ( x 2 + y 2 + 1 + 1 ) x 2 + y 2

Cortando os termos parecidos, obtemos:

f x , y = x 2 + y 2 + 1 + 1

Essa é uma função polinomial e, portanto, contínua.

Agora bora calcular o seu limite!!

Passo 3

Podemos então dizer que:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 + 1 + 1

Aplicando o limite, temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = 0 2 + 0 2 + 1 + 1

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = 1 + 1

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = 2

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1 = 2

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