Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:

e) f x , y = 1 x 2 + y 2 ,     ( x , y ) ≠ ( 0,0 )         0 ,               x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Devemos verificar se as derivadas parciais existem na origem:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f 0 + ∆ x , 0 - f ( 0,0 ) ∆ x = lim x → 0 ⁡ 1 ∆ x 2 + 0 - 0 ∆ x = lim x → 0 ⁡ 1 ∆ x 3 = ∞

Como ∂ f ∂ x 0,0 não existe, a função f não é diferenciável na origem.

Resposta

f não é diferenciável na origem.

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