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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 51

Diferenciando integrais. Sob certas condições com relação à continuidade, é verdade que, se

F x = ∫ a b g t ,   x d t ,

então F ' x = ∫ a b g x t ,   x d t . Utilizando esse fato e a regra da cadeia, podemos encontrar a derivada de

F x = ∫ a f x g t ,   x d t

fazendo

G u ,   x = ∫ a u g t ,   x d t ,

onde u = f x . Encontre as derivadas das funções nos Exercícios 51 e 52.

F x = ∫ 0 x 2 t 4 + x 3 d t

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Prontos para resolvermos este exercício juntos?! Então vamos lá.

Do enunciado, sabemos que:

g = t 4 + x 3

Então conseguimos calcular g x :

g x = 3 x 2 2 t 4 + x 3

Passo 2

Sendo assim, para t = x 2 :

t ' = 2 x

Conseguimos a seguinte equação:

= 2 x x 2 4 + x 3 + ∫ 0 x 2 3 x 2 2 t 4 + x 3 d t

= 2 x x 8 + x 3 + ∫ 0 x 2 3 x 2 2 t 4 + x 3 d t

Tchau galera!!

Resposta

2 x x 8 + x 3 + ∫ 0 x 2 3 x 2 2 t 4 + x 3 d t

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