Diferenciando integrais. Sob certas condições com relação à continuidade, é verdade que, se

F x = ∫ a b g t ,   x d t ,

então F ' x = ∫ a b g x t ,   x d t . Utilizando esse fato e a regra da cadeia, podemos encontrar a derivada de

F x = ∫ a f x g t ,   x d t

fazendo

G u ,   x = ∫ a u g t ,   x d t ,

onde u = f x . Encontre as derivadas das funções nos Exercícios 51 e 52.

F x = ∫ x 2 1 t 3 + x 2 d t

Passo 1

Oi galerinha, espero que estejam bem! Vem comigo.

Do enunciado, sabemos que:

g = t 3 + x 2

Então conseguimos calcular g x :

g x = x t 3 + x 2

Passo 2

Sendo assim, para t = 1 - x 2 :

t ' = - 2 x

Conseguimos a seguinte equação:

= - 2 x - x 2 3 + x 3 + ∫ x 2 1 x t 3 + x 2 d t

= - 2 x - x 6 + x 3 + ∫ x 2 1 x t 3 + x 2 d t

Resposta

- 2 x x 3 - x 6 + ∫ x 2 1 x t 3 + x 2 d t

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