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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 11c

Verificar a regra da cadeia para a função

z = sqrt(u^2 + v^2 + 5) , u = c o s x , v = s e n y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z (x , y) = f (u (x , y) , v (x , y))

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

(del z)/(del x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

(del z)/(del y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y)

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

(del f)/(del u) = (u)/(sqrt(u^2 + v^2 + 5))

(del f)/(del v) = (v)/(sqrt(u^2 + v^2 + 5))

(del u)/(del x) = - s e n x

(del v)/(del x) = 0

(del u)/(del y) = 0

(del v)/(del y) = c o s y

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

(del z)/(del x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

(del z)/(del x) = ((u)/(sqrt(u^2 + v^2 + 5))) ( - s e n x ) + ((v)/(sqrt(u^2 + v^2 + 5))) ( 0 )

(del z)/(del y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y)

(del z)/(del y) = ((u)/(sqrt(u^2 + v^2 + 5))) ( 0 ) + ((v)/(sqrt(u^2 + v^2 + 5))) (c o s y)

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

(del z)/(del x) = ((c o s x)/(sqrt(( c o s x )^2 + ( s e n y )^2 + 5))) ( - s e n x )

(del z)/(del y) = ((s e n y)/(sqrt(( c o s x )^2 + ( s e n y )^2 + 5))) (c o s y)

Resposta

(del z)/(del x) = ((c o s x)/(sqrt(( c o s x )^2 + ( s e n y )^2 + 5))) ( - s e n x )

(del z)/(del y) = ((s e n y)/(sqrt(( c o s x )^2 + ( s e n y )^2 + 5))) (c o s y)

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