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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 20

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y   , usando a regra da cadeia

z   = l 2 + m 2   ,   l = c o s x y   ,   m = s e n x y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f l x , y , m x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ l ∂ l ∂ x + ∂ f ∂ m ∂ m ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ l ∂ l ∂ y + ∂ f ∂ m ∂ m ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ l = 2 l

∂ f ∂ m = 2 m

∂ l ∂ x = - y s e n x y

∂ m ∂ x = y c o s x y

∂ l ∂ y = - x s e n x y

∂ m ∂ y =   x c o s x y

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ l ∂ l ∂ x + ∂ f ∂ m ∂ m ∂ x

∂ z ∂ x =   2 l ( - y s e n x y ) + 2 m ( y c o s x y )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ l ∂ l ∂ y + ∂ f ∂ m ∂ m ∂ y

∂ z ∂ y =   2 l ( - x s e n x y ) + 2 m ( x c o s x y )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x =   2 c o s x y - y s e n x y + 2 s e n x y y c o s x y = 0

∂ z ∂ y =   2 c o s x y - x s e n x y + 2 s e n x y x c o s x y = 0

Resposta

∂ z ∂ x = 0

∂ z ∂ y = 0

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