Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 14b

Verificar se os seguintes limites existem:

b) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)

Passo 1

Vamos supor que o limite existe e é zero. Assim, para mostrar isso podemos usar a definição de limite:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |(- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2) - 0| < epsilon sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Passo 2

Podemos reorganizar |(- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2) - 0| da seguinte forma:

|(- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2) - 0| = (x^2 |y|)/(2 (x^2 + y^2))

E também podemos dizer que:

x^2 <= x^2 + y^2

e

|y| <= sqrt(x^2 + y^2)

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

|(- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)| <= ((x^2 + y^2) * sqrt(x^2 + y^2))/(2 (x^2 + y^2))

Simplificando os termos, nós temos:

|(- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)| <= (sqrt(x^2 + y^2))/(2)

Como 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta , podemos dizer que:

|(- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)| <= (delta)/(2)

Passo 4

Assim, se tomarmos delta = 2 epsilon podemos dizer que:

|(- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)| <= epsilon

Sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Com isso provamos que o limite existe e é igual a zero.

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2) = 0

Resposta

O limite existe.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

4. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2