Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ x y cos ⁡ y 3 x 2 + y 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 0,0 ⁡ x y cos ⁡ y 3 x 2 + y 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x e, em seguida, ao longo da reta x = y .

Se tivermos resultados iguais, então o limite existe!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x , fazemos y = 0 e resolvemos o limite para x → 0 :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x ⋅ 0 ⋅   cos ⁡ 0   3 x 2 + 0 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0 3 x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0

Passo 3

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo da reta x = y :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = x 2 cos ⁡ x   3 x 2 + x 2

Somando os termos do denominador, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = x 2 cos ⁡ x   4 x 2

Cortando dos termos iguais, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = cos ⁡ x   4

Aplicando o limite, sabemos que cos ⁡ 0 = 1 , portanto:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 1   4

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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Verificar se os seguintes limites existem:c) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y)/(x^3 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:f) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^2 - 4 y^2)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:h) underset([[x - 1],[y - 0]])(lim) ((x - 1)^2 y)/((x - 1)^4 + y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:g) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^3)/(x^3 + y^2)