Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ 6 x 3 y 2 x 4 + y 4

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 0,0 ⁡ 6 x 3 y 2 x 4 + y 4

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x e, em seguida, ao longo da reta x = y .

Com isso, se os limites forem iguais, então existe o limite nesse ponto 😉

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 6 ⋅ 0 ⋅ y 2 ⋅ 0 4 + y 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0 y 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0

Passo 3

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo da reta x = y :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 6 x 3 ⋅ x 2 x 4 + x 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 6 x 4 3 x 4

Cortando os termos iguais e simplificando, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 2

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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Verificar se os seguintes limites existem:d) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (5 y - x)/(2 x - y)
Mostrar que os limites não existem:a) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)
Mostrar que os limites não existem:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (3 x y)/(4 x^2 + 5 y^2)
Verificar se os seguintes limites existem:b) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (- x^2 y)/(2 x^2 + 2 y^2)
Mostrar que os limites não existem:h) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (y^4 + 3 x^2 y^2 + 2 y x^3)/((y^2 + x^2)^2)