Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + s e n 2 y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + s e n 2 y 2 x 2 + y 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x e f ( x , y ) ao longo do eixo y .

Se tivermos resultados iguais, então o limite existe!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x 2 + s e n 2 0 2 x 2 + 0 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x 2 2 x 2

Cortando os termos iguais, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 1 2

Passo 3

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo y :

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = 0 2 + s e n 2 y 20 2 + y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = s e n 2 y y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = s e n   y y 2

Sabemos que:

lim y → 0 ⁡ s e n   y y = 1

Assim, podemos concluir que nosso limite é:

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = 1 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = 1

Dessa forma, como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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5-22. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.8. lim x , y → ( 3 ,2 ) ⁡ e 2 x - y
Mostrar que os limites não existem:c) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x - y)/(2 x + y)
Verificar se os seguintes limites existem:a) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (2 y)/(x + y)
Mostrar que os limites não existem:d) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y)/(x^2 + y^2)