Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ x y x 2 + y 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ x y x 2 + y 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x e da reta y = x .

Se tivermos resultados iguais, então o limite existe!

Obs: para um limite existir com duas variáveis, basta percorrermos dois caminhos diferentes e verificarmos se seus resultados são iguais hehe.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

lim x , y → 0 , 0 ⁡ f x , 0 = 0 ⋅ y y 2

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ f x , 0 = 0

Passo 3

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo da reta x = y :

lim x , y → 0 , 0 ⁡ f x , x = x ⋅ x x 2 + x 2

lim x , y → 0 , 0 ⁡ f x , x = x 2 2 x 2

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ f x , x = x 2 x 2

Simplificando, temos:

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ f x , x = x 2

Aplicando o limite, temos:

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ f x , x = 0

Dessa forma, vemos que o limite existe e é igual a zero!!!

Resposta

lim x , y → ( 0 , 0 ) ⁡ x y x 2 + y 2 = 0

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Mostrar que os limites não existem:b) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (2 x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 4 - 4 y 2 x 2 + 2 y 2
7. underset((x , y) - ( 0,0 ))(lim) (x^2)/(x^2 + y^2)