Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.10 - Ex. 8
Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1.
Passo 1
Oie! bora lá.
Nesse problema temos que verificar que a aproximação:
Em é válida.
E também temos que determinar os valores de onde a aproximação tem precisão de .
Parece complicado?
Para a aproximação linear dada em torno de , primeiro calculamos a derivada de em para substituir na fórmula da linearização:
(essa fórmula é a equação da reta tante disfarçada).
Agora, para determinar os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de precisamos encontrar os valores de para os quais a diferença entre e seja menor ou igual a
Então, queremos resolver a seguinte desigualdade:
Onde é a precisão de .
Bora começar!
Passo 2
Primeiro vamos verificar a aproximação:
A derivada de em relação a é dada por:
Para obter a linearização uma função , devemos utilizar a aproximação da função em :
Então, em é:
Para ...
Logo, a linearização está correta.
Show?
Passo 3
Para uma precisão de , o valor estimado, está numa faixa de do valor real, ou seja:
Isolando no meio da inequação:
Vamos substrair em todos os lados para zerar o meio...
Dividindo todos os lados por .
Para essa igualdade ser verdadeira (usando uma ferramenta algébrica).
E aí! o que achou? Responde Aí!