Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1.

tg x ≈ x

Passo 1

Oie! bora lá.

Nesse problema temos que verificar que a aproximação:

t g   x ≈ x

Em a = 0 é válida.

E também temos que determinar os valores de x onde a aproximação tem precisão de 0,1 .

Parece complicado?

Para a aproximação linear dada tan ⁡ x ≈ x em torno de a = 0 , primeiro calculamos a derivada de tan ⁡ x em a = 0 para substituir na fórmula da linearização:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

(essa fórmula é a equação da reta tante disfarçada).

Agora, para determinar os valores de ( x ) para os quais a aproximação linear tem precisão de 0.1 , precisamos encontrar os valores de x para os quais a diferença entre tan ⁡ x e x seja menor ou igual a 0.1

Então, queremos resolver a seguinte desigualdade:

  L x - f x ≤ ϵ

Onde ϵ é a precisão de 0,1 .

Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos verificar a aproximação:

t g   x ≈ x

A derivada de tan ⁡ x em relação a ( x ) é dada por:

d d x tan ⁡ x = sec 2 ⁡ ( x )

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Então, L ( x ) em a é:

L x = t g   a + sec 2 ⁡ x ( x - a )

Para a = 0 ...

L x = 0 + 1 x - 0

L x = x

Logo, a linearização está correta.

Show?

Passo 3

Para uma precisão de 0,1 , o valor estimado, está numa faixa de ± 0,1 do valor real, ou seja:

L x - f x ≤ ϵ → L x - f x ≤ 0,1

- 0,1 ≤ L x - f x ≤ 0,1

Isolando L x no meio da inequação:

f x - 0,1 < L x < f x + 0,1

t g   x - 0,1 < x < t g   x + 0,1

Vamos substrair x em todos os lados para zerar o meio...

t g   x - 0,1 - x < x - x < t g   x + 0,1 - x

Dividindo todos os lados por t g   x + 0,1 - x .

t g   x - 0,1 - x t g   x + 0,1 - x < 0 t g   x + 0,1 - x < t g   x + 0,1 - x t g   x + 0,1 - x

t g   x - 0,1 - x t g   x + 0,1 - x < 0 < 1

t g   x - 0,1 - x t g   x + 0,1 - x < 0

Para essa igualdade ser verdadeira (usando uma ferramenta algébrica).

- 0,63 < x < 0,63

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

L x = x

- 0,63 < x < 0,63

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