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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 75

Verifique que a função u = e - α 2 k 2 t ⋅ s e n ( k x ) é uma solução da equação de condução do calor, u t =   α 2 ⋅ u x x .

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem?

Nessa questão, nós temos uma função  

u = e - α 2 k 2 t ⋅ sen ⁡ k x

e queremos verificar que ela satisfaz a equação da condução de calor,

u t = α 2 u x x

Bom, para isso, nós vamos precisar calcular u t e u x x . No caso de u x x começamos calculando u x e depois derivamos novamente para obter a derivada segunda.

Tranquilo? Vamos lá então...

Passo 2

Devemos calcular a derivada parcial da função em relação a uma variável. A ideia consiste em tratar as demais variáveis presentes na função como valores constantes.

Dada a função u = e - α 2 k 2 t ⋅ s e n ( k x ) , para obter u t , devemos fixar as variáveis α   e k .

Assim:

u t = ∂ ∂ t e - α 2 k 2 t . s e n k x

Será necessária a regra da cadeia:

u t = sen ⁡ k x   e - α 2 k 2 t d d t ( - α 2 k 2 t )  

Então:

u t =   - α 2 k 2 ⋅   e - α 2 k 2 t ⋅ sen ⁡ ( k x )

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada segunda de u com relação a x ...

Começando pela derivada primeira

u x = ∂ ∂ x e - α 2 k 2 t . s e n k x

O termo que contém t é constante para essa derivada. Aplicando a regra da cadeia na derivação do seno, obtemos:

u x =   e - α 2 k 2 t ⋅ c o s k x ⋅ k

Agora, derivando novamente, obtemos:

u x x =   - k 2 e - α 2 k 2 t ⋅   s e n k x

Passo 4

Verificando a igualdade:

Pegamos o resultado das derivadas e substituímos na equação de condução do calor. Daí, vemos que

u t = α 2 u x x

- α 2 k 2 ⋅   e - α 2 k 2 t ⋅ sen ⁡ k x =   α 2   - k 2 e - α 2 k 2 t ⋅   s e n k x

Os dois lados da igualdade são iguais, então verificamos que u satisfaz a equação de condução do calor.

Resposta

α 2 . u x x = - α 2 k ² e - α 2 k 2 t . s e n k x = u t (como queríamos demonstrar).

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