Enunciado

Encontre ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

z = f x + g ( y )

z = f x + y

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá duas funções z que são compostas por duas funções genéricas f ( x ) e g ( y ) , e pede para que encontremos suas derivadas parciais.

O objetivo dessa questão é desenvolver a habilidade em derivar uma função em relação a uma determinada variável de forma geral, para quaisquer que fossem as funções genéricas. Para isso vamos fazer o processo padrão de derivar parcialmente: tratar as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constantes.

Passo 2

Se a nossa função é dada por

z = f x + g ( y )

Vamos encontrar primeiramente a derivada ∂ z ∂ x

O primeiro passo é tratar y como constante, de forma que:

∂ z ∂ x = d f x + g y d x

Mas veja que a função g ( y ) não depende de x , então quando derivamos ela em x , o resultado é 0 !

Dessa forma:

∂ z ∂ x = d f d x

E de forma bastante similar, quando buscamos ∂ z ∂ y

∂ z ∂ y = d f x + g y d y

∂ z ∂ x = d g d y

Passo 3

Se a nossa função é dada por

z = f x + y

Vamos encontrar primeiramente a derivada ∂ z ∂ x

O primeiro passo é tratar y como constante, de forma que:

∂ z ∂ x = d f x + y d x

Veja que o argumento da função f é x + y , dessa forma podemos encontrar as derivadas parciais utilizando a regra da cadeia.

Relembrando, a regra da cadeia nos diz que para uma função

f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser

f ' g x = d f u d u d g x d x

Assim, no nosso caso, temos:

∂ z ∂ x = d f u d u d x + y d x

De forma que

∂ z ∂ x = d f u d u

Onde u = ( x + y )

E de forma similar, encontramos ∂ z ∂ y

∂ z ∂ y = d f u d u

Onde u = ( x + y )

Resposta

∂ z ∂ x = d f d x

∂ z ∂ x = d g d y

∂ z ∂ x = d f u d u

Onde u = ( x + y )

∂ z ∂ y = d f u d u

Onde u = ( x + y )

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