Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 51
Encontre e .
Passo 1
Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos dá duas funções que são compostas por duas funções genéricas e , e pede para que encontremos suas derivadas parciais.
O objetivo dessa questão é desenvolver a habilidade em derivar uma função em relação a uma determinada variável de forma geral, para quaisquer que fossem as funções genéricas. Para isso vamos fazer o processo padrão de derivar parcialmente: tratar as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constantes.
Passo 2
Se a nossa função é dada por
Vamos encontrar primeiramente a derivada
O primeiro passo é tratar como constante, de forma que:
Mas veja que a função não depende de , então quando derivamos ela em , o resultado é !
Dessa forma:
E de forma bastante similar, quando buscamos
Passo 3
Se a nossa função é dada por
Vamos encontrar primeiramente a derivada
O primeiro passo é tratar como constante, de forma que:
Veja que o argumento da função é , dessa forma podemos encontrar as derivadas parciais utilizando a regra da cadeia.
Relembrando, a regra da cadeia nos diz que para uma função
Onde podemos chamar
A derivada dessa função vai ser
Assim, no nosso caso, temos:
De forma que
Onde
E de forma similar, encontramos
Onde
Resposta
Onde
Onde