Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

f(x, y) = sen²(mx + ny)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função com duas variáveis:

f x , y = s e n ² ( m x + n y )

Onde m e n são constantes.

Queremos determinar as derivadas parciais de segunda ordem.

Para isso, primeiramente precisamos encontrar a derivada de primeira ordem... mas como??

Para isso, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Assim, teremos as derivadas de primeira ordem com relação a x e y :

f x

f y

Mas nessa questão, teremos de calcular derivadas parciais de segunda ordem. O raciocínio é o mesmo que possuímos para derivada de primeira ordem. A diferença está no fato de derivarmos uma função que já é derivada de uma anterior.

Com isso, vamos derivar em relação a x e a y as derivadas de primeira ordem. Assim, teremos:

f x x

f x y

f y x

f y y

Agora bora lá!! 😉

Obs: perceba que, ao analisar a função, poderemos aproveitar os resultados de uma variável e fazer de forma análoga a outra variável (perceba que as variáveis x e y estão dentro da função e multiplicadas por constantes qualquer).

Passo 2

Primeiramente vamos derivar com relação a x .

Para isso, vamos fazer a Regra da Cadeia fazendo u = m x + n y .

Com isso, temos:

f x = ∂ ∂ u s e n 2 u ∂ ∂ x m x + n y

Aplicando novamente a Regra da Cadeia na derivada ∂ ∂ u s e n 2 u e aplicando a derivada da soma na segunda, obtemos:

f x = 2   s e n   u ∂ ∂ u s e n u ∂ ∂ x m x + ∂ ∂ x n y

Resolvendo, obtemos:

f x = 2   s e n   u cos ⁡ u m + 0

Sabendo que 2   s e n a cos ⁡ a = s e n   2 a , obtemos:

f x = s e n   2 u m

Substituindo u :

f x = m ⋅ s e n   2 m x + 2 n y

De forma análoga, para a derivada f y , temos:

f y = n ⋅ s e n   2 m x + 2 n y

Passo 3

Agora vamos fazer a derivada f x x . Para isso, vamos derivar f x com relação a x .

Aplicando a derivada do produto, obtemos:

f x x = m ' ⋅ s e n   2 m x + 2 n y + m ⋅ s e n   2 m x + 2 n y '

A derivada de uma constante é zero, portanto:

f x x = m ⋅ s e n   2 m x + 2 n y '

Vamos aplicar a Regra da cadeia fazendo u = 2 m x + 2 n y . Assim, temos:

f x x = m ⋅ ∂ ∂ u s e n   u ∂ ∂ x 2 m x + 2 n y

Resolvendo as derivadas, temos:

f x x = m ⋅ cos ⁡ u ⋅ 2 m ∴

f x x = 2 m 2 cos ⁡ u

Substituindo u :

f x x = 2 m 2 cos ⁡ 2 m x + 2 n y

A derivada f y y será de forma análoga, mas ao invés de m 2 , será n 2 :

f y y = 2 n 2 cos ⁡ 2 m x + 2 n y

Passo 4

Agora, vamos resolver a derivada f x y . Para isso, vamos derivar f x com relação a y .

Aplicando a derivada do produto, obtemos:

f x y = m ' ⋅ s e n   2 m x + 2 n y + m ⋅ s e n   2 m x + 2 n y '

A derivada de uma constante é zero, portanto:

f x y = m ⋅ s e n   2 m x + 2 n y '

Vamos aplicar a Regra da cadeia fazendo u = 2 m x + 2 n y . Assim, temos:

f x y = m ⋅ ∂ ∂ u s e n   u ∂ ∂ y 2 m x + 2 n y

Resolvendo as derivadas, temos:

f x y = m ⋅ cos ⁡ u ⋅ 2 n ∴

f x y = 2 m n cos ⁡ u

Substituindo u :

f x y = 2 m n cos ⁡ 2 m x + 2 n y

Passo 5

Lembre-se que:

f x y = f y x

Portanto, podemos concluir que:

f y x = 2 m n cos ⁡ 2 m x + 2 n y

Resposta

f x x = 2 m 2 cos ⁡ 2 m x + 2 n y

f y y = 2 n 2 cos ⁡ 2 m x + 2 n y

f x y = f y x = 2 m n cos ⁡ 2 m x + 2 n y

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