Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 54
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função com duas variáveis:
Onde e são constantes.
Queremos determinar as derivadas parciais de segunda ordem.
Para isso, primeiramente precisamos encontrar a derivada de primeira ordem... mas como??
Para isso, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.
Assim, teremos as derivadas de primeira ordem com relação a e :
Mas nessa questão, teremos de calcular derivadas parciais de segunda ordem. O raciocínio é o mesmo que possuímos para derivada de primeira ordem. A diferença está no fato de derivarmos uma função que já é derivada de uma anterior.
Com isso, vamos derivar em relação a e a as derivadas de primeira ordem. Assim, teremos:
Agora bora lá!! 😉
Obs: perceba que, ao analisar a função, poderemos aproveitar os resultados de uma variável e fazer de forma análoga a outra variável (perceba que as variáveis e estão dentro da função e multiplicadas por constantes qualquer).
Passo 2
Primeiramente vamos derivar com relação a .
Para isso, vamos fazer a Regra da Cadeia fazendo .
Com isso, temos:
Aplicando novamente a Regra da Cadeia na derivada e aplicando a derivada da soma na segunda, obtemos:
Resolvendo, obtemos:
Sabendo que , obtemos:
Substituindo :
De forma análoga, para a derivada , temos:
Passo 3
Agora vamos fazer a derivada . Para isso, vamos derivar com relação a .
Aplicando a derivada do produto, obtemos:
A derivada de uma constante é zero, portanto:
Vamos aplicar a Regra da cadeia fazendo . Assim, temos:
Resolvendo as derivadas, temos:
Substituindo :
A derivada será de forma análoga, mas ao invés de , será :
Passo 4
Agora, vamos resolver a derivada . Para isso, vamos derivar com relação a .
Aplicando a derivada do produto, obtemos:
A derivada de uma constante é zero, portanto:
Vamos aplicar a Regra da cadeia fazendo . Assim, temos:
Resolvendo as derivadas, temos:
Substituindo :
Passo 5
Lembre-se que:
Portanto, podemos concluir que: