Enunciado

Se u = e^(a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n) , onde a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 = 1 , mostre que

(del^2 u)/(del x_1^2) + (del^2 u)/(del x_2^2) + ... + (del^2 u)/(del x_n^2) = u

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu calcular as derivadas parciais para a variável “genérica” x_n . Depois iremos estender o conceito dessas derivadas para o problema em questão.

(del u)/(del x_n) = (del)/(del x_n) (e^(a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n)) = (del)/(del x_n) (e^(a_1 x_1) * e^(a_2 x_2) * ... * e^(a_n x_n)) = a_n (e^(a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n))

(del^2 u)/(del x_n^2) = (del)/(del x_n) ((del u)/(del x_n)) = (del)/(del x_n) (a_n (e^(a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n))) = (a_n)^2 * underset(u)(ubrace (e^(a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n))) = (a_n)^2 u

Ou seja,

{[[(del^2 u)/(del x_1^2) = (a_1)^2 u],[(del^2 u)/(del x_2^2) = (a_2)^2 u],[...],[(del^2 u)/(del x_n^2) = (a_n)^2 u]])

Passo 2

Agora que calculamos tudo, é só somar as n derivadas parciais:

(del^2 u)/(del x_1^2) + (del^2 u)/(del x_2^2) + ... + (del^2 u)/(del x_n^2) = (a_1)^2 u + (a_2)^2 u + ... + (a_n)^2 u = underset(= 1)(ubrace (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)) u = u

Shooow!!! Deu tudo certo! Chegamos no resultado final!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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