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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 80

Se u = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n , onde a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 = 1 , mostre que

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

Passo 1

Oieee, vamos resolver essa atividade?

Essa aqui é um pouco complicada, mas irei te ajudar a entender o que está acontecendo. Dada a função do tipo:

u = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n

E a gente sabe que:

a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 = 1

Devemos mostrar que:

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

Show de bola, galera. Partiu calcular as derivadas parciais para a variável “genérica” x n . Depois iremos estender o conceito dessas derivadas para o problema em questão.

Primeiro vamos derivar em relação a um x n genérico qualquer, e entender o comportamento da nossa função.

Depois iremos derivar uma segunda vez, ainda em relação a x n , pois assim poderemos entender o padrão do comportamento da derivação e assim conseguirmos provar o que é necessário.

Passo 2

Primeiro vamos derivar em relação a um x n genérico qualquer, e entender o comportamento da nossa função:

∂ u ∂ x n = ∂ ∂ x n e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n

A gente sabe que quando temos x a + b = x a ⋅ x b , então a derivação assim se torna derivar apenas um terno, o que possui x n :

∂ u ∂ x n = ∂ ∂ x n e a 1 x 1 ∙ e a 2 x 2 ∙ … ∙ e a n x n

∂ u ∂ x n = a n e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n

Passo 3

Agora a gente repete o processo, derivando novamente em relação a a n :

∂ 2 u ∂ x n 2 = ∂ ∂ x n ∂ u ∂ x n = ∂ ∂ x n a n e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n

∂ 2 u ∂ x n 2 = a n 2 ∙ e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n ⏟ u

∂ 2 u ∂ x n 2 = a n 2 u

Ou seja,

∂ 2 u ∂ x 1 2 = a 1 2 u ∂ 2 u ∂ x 2 2 = a 2 2 u … ∂ 2 u ∂ x n 2 = a n 2 u

Agora que calculamos tudo, é só somar as n derivadas parciais:

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 u ∂ x n 2 = a 1 2 u + a 2 2 u + … + a n 2 u = a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 ⏟ = 1 u = u

Shooow!!! Deu tudo certo! Chegamos no resultado final!

Resposta

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