Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 59
Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.
59.
Passo 1
O melhor caminho pra resolver o limite pra esta função é “quebrar” a fração da seguinte maneira:
Passo 2
E por que é o melhor caminho? Porque, nesse caso, temos um limite fundamental bem conhecido do cálculo que estava escondido dentro da função:
Em que, no nosso caso, . Assim, teríamos como resposta pro limite o seguinte:
Passo 3
Já sabemos o resultado do limite, calculado facilmente. Agora, vamos verificar se, pela regra de L’Hôpital poderíamos chegar ao mesmo resultado.
Já sabendo que a função é passível de se aplicar a regra (por resultar em indeterminação do tipo ), derivamos numerador e denominador e teremos:
Ou seja, aplicando a regra, chegamos ainda em um resultado indeterminado, pois não temos como prever qual o calor absoluto do cosseno (ou o seno, ou qualquer outra função trigonométrica) no infinito.
As funções trigonométricas são cíclicas, se repetem em um determinado período. Então, não podemos prever seu resultado em um número que nós mesmos não conhecemos, que é o infinito.
Resposta
Limite não passível de se resolver por L’Hôpital.