Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 60

Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.

60. lim x → + ∞ ⁡ 2 x - sin ⁡ x 3 x + sin ⁡ x

Passo 1

Primeiro, verificamos se a função é passível de se aplicar a regra de L’Hôpital:

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x - sin ⁡ x 3 x + sin ⁡ x = 2 ( ∞ ) - sin ⁡ x 3 ( ∞ ) + sin ⁡ x = ∞ ∞

Tendo como indeterminação ∞ ∞ , podemos aplicar a regra. Derivamos numerador e denominador e teremos:

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x - sin ⁡ x 3 x + sin ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ 2 - cos ⁡ x 3 + cos ⁡ x = ∄

Chegamos, no entanto, à conclusão de que aplicar L’Hôpital não os ajuda a calcular o limite. Não podemos calcular diretamente funções trigonométricas no infinito. Precisamos tentar calcular o limite de outra forma.

Passo 2

Uma forma interessante aqui seria dividir numerador e denominador pelo termo de x com maior grau, da seguinte forma:

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x - sin ⁡ x 3 x + sin ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ 2 - sin ⁡ x x 3 + sin ⁡ x x

Isso é interessante porque chegamos nas formas de um limite fundamental, dentro da função, bem conhecido no Cálculo, que é:

l i m x → + ∞ sin ⁡ k x x = 0

Passo 3

Dessa forma, podemos continuar o cálculo do limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 - sin ⁡ x x 3 + sin ⁡ x x = l i m x → + ∞ 2 - l i m x → + ∞ sin ⁡ x x l i m x → + ∞ 3 + l i m x → + ∞ sin ⁡ x x =

= 2 - 0 3 + 0 = 2 3

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - sin ⁡ x 3 x + sin ⁡ x = 2 3

Limite não passível de se resolver por L’Hôpital.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite, se existir.underset(x - 0^+)(lim) (x)^((1)/(ln x))
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0^+)(lim) (1 + x)^(ln x)
Calcule o limite, se existir.underset(x - + oo)(lim) (x^2 + 2 x)/(e^(3 x) - 1)
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0^+)(lim) (sin x)^(x^2)
Calcule o limite, se existir.underset(x - + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^(x^2)