Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 61
Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.
61.
Passo 1
Primeiro, verificamos se a função é passível de se aplicar a regra de L’Hôpital:
Tendo como indeterminação , podemos aplicar a regra. Derivamos numerador e denominador e teremos:
Chegamos, no entanto, à conclusão de que aplicar L’Hôpital não os ajuda a calcular o limite. Não podemos calcular diretamente funções trigonométricas no infinito. Precisamos tentar calcular o limite de outra forma.
Passo 2
Uma forma interessante aqui seria dividir numerador e denominador pelo termo de com maior grau, da seguinte forma:
Mais uma vez repetimos esse processo:
E por que fazer isso? Bom, dessa forma conseguimos fazer aparecer na nossa função o limite fundamental:
Mas, será que isso pode nos ajudar? Continuando o cálculo, aplicando em , obteríamos:
Passo 3
Resultamos em uma indeterminação que não pode ser resolvida. Nem por L’Hôpital, e nem manipulando nossa função conseguimos chegar a um valor numérico para o resultado.
Assim, podemos concluir que o limite não existe!