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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.3 - Ex. 62

62. Se você investir x dólares a 4 % de juros capitalizados anualmente, então o valor A x do investimento depois de um ano é A x = 1,04 x . Encontre A ∘ A , A ∘ A ∘ A e A ∘ A ∘ A ∘ A . O que estas composições representam? Encontre uma fórmula para a composição de n cópias de A .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada a função A x = 1,04 x em que A x representa o valor capital de um investimento a partir de um investimento inicial x .

A partir dessa função queremos determinar as funções compostas A ∘ A , A ∘ A ∘ A e A ∘ A ∘ A ∘ A e dizer o que elas representam. Além disso queremos obter uma fórmula geral para a composição de n cópias de A .

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Para determinar uma função composta, por exemplo f ∘ g , temos que pegar a função f x e substituir x por g x

f ∘ g = f g x

Veja só! 😎

Passo 2

Nesse caso, se A x = 1,04 x , para obter A ∘ A substituímos x por A x em A x , ou seja

A x = 1,04 x → A A x = 1,04 A x

A ∘ A = A A x = 1,04 1,04 x

A ∘ A = 1,04 2 x

Para obter A ∘ A ∘ A fazemos o mesmo processo, mas dessa vez fazemos duas vezes

Para simplificar, podemos reutilizar os cálculos de A ∘ A e substituir x por A ∘ A em A x

A ∘ A ∘ A = A A A x = 1,04 A A x

A ∘ A ∘ A = 1,04 1,04 1,04 x

A ∘ A ∘ A = 1,04 3 x

E por último, para obter A ∘ A ∘ A ∘ A substituímos x por A ∘ A ∘ A em A x

A ∘ A ∘ A ∘ A = A A A A x = 1,04 A A A x

A ∘ A ∘ A ∘ A = 1,04 1,04 1,04 1,04 x

A ∘ A ∘ A ∘ A = 1,04 4 x

Perceba que a cada composição, o termo 1,04 aumenta de expoente... isso representa que cada uma das composições diz respeito a um ano de investimento, ou seja, A ∘ A é o montante de capital após 2 anos do início do investimento, A ∘ A ∘ A após 3 anos e A ∘ A ∘ A ∘ A após 4 anos.

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora para a n -esima composição de A x podemos olhar para o passo anterior e observar uma coisa interessante...

Você percebeu que em A ∘ A o termo 1,04 está elevado ao quadrado, em A ∘ A ∘ A o termo 1,04 está elevado ao cubo e em A ∘ A ∘ A ∘ A o termo 1,04 está elevado à quarta potência?

Isso nos diz que o expoente de 1,04 cresce linearmente conforme o número de composições de A x .

Dessa forma podemos determinar uma fórmula para n composições de A x como

A ∘ A n - 1 = 1,04 n x

Onde A n - 1 é a composição de A x n - 1 vezes.

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

A ∘ A = 1,04 2 x , representa o capital total após 2 anos

A ∘ A ∘ A = 1,04 3 x , representa o capital total após 3 anos

A ∘ A ∘ A ∘ A = 1,04 4 x , representa o capital total após 4 anos

A ∘ A n - 1 = 1,04 n x

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