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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Questões para guiar sua revisão - Ex. 22

O que é uma série de potências? Como você testa uma série de potências para convergência? Quais são os possíveis resultados?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Uma série de potências sobre x = 0 é da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + … + c n x n + …

Já uma série de potências sobre x = a é da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a ) 2 + … + c n ( x - a ) n + …

Para testar sua convergência podemos usar o teste da razão ou da raiz para encontrar o intervalo onde a série converge absolutamente, que é um intervalo aberto do tipo:

x - a < R               o u                 a - R < x < a + R

Se o intervalo de convergência absoluta é finito, testa-se a convergência ou divergência para cara extremo. Nesse momento podemos usar o teste da comparação, da integral ou da série alternada.

Se o intervalo de convergência absoluta é a - R < x < a + R a série diverge para x - a > R porque o enésimo termo não tente a zero para esses valores de x.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .24. 1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .27. x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .23. x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ k = 0 ∞ a k x k
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .25. ∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1