O que é uma série de potências? Como você testa uma série de potências para convergência? Quais são os possíveis resultados?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Uma série de potências sobre x = 0 é da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + … + c n x n + …

Já uma série de potências sobre x = a é da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a ) 2 + … + c n ( x - a ) n + …

Para testar sua convergência podemos usar o teste da razão ou da raiz para encontrar o intervalo onde a série converge absolutamente, que é um intervalo aberto do tipo:

x - a < R               o u                 a - R < x < a + R

Se o intervalo de convergência absoluta é finito, testa-se a convergência ou divergência para cara extremo. Nesse momento podemos usar o teste da comparação, da integral ou da série alternada.

Se o intervalo de convergência absoluta é a - R < x < a + R a série diverge para x - a > R porque o enésimo termo não tente a zero para esses valores de x.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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