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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 14-b

14. Suponha que determinada população tem uma taxa de crescimento que varia com o tempo e queessa população satisfaz a equação diferencial

dy/dt =(0,5 + sen t)y/5.

(a) Se y(0) = 1, encontre (ou estime) o instante τ no qual a população dobrou. Escolha outrascondições iniciais e determine se o tempo de duplicação τ depende da população inicial.(b) Suponha que a taxa de crescimento é substituída pelo seu valor médio 1/10. Determine otempo de duplicação τ nesse caso.(c) Suponha que o termo sen t na equação diferencial é substituído por sen(2πt); ou seja, avariação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente mais alta. Qual o efeitodisto no tempo de duplicação τ?(d) Faça o gráfico das soluções obtidas nos itens (a), (b) e (c) em um único conjunto de eixos.

Passo 1

Agora temos uma situação diferente da anterior, nossa equação é agora

d y d t = 1 10

Podemos separar as variáveis e integrar

∫ d y = ∫ 1 10 d t

y = t 10 + C

Sabendo que y   0 = 1 ,   podemos descobrir o valor da nossa constante arbitraria

1 = 0 + C

C = 1

Entao nossa função fica

y = t 10 + 1

Passo 2

Queremos agora descobrir quanto tempo demora para que

y t → 2

Então vamos substituir na nossa equação

2 = t 10 + 1  

t = 10

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = 10

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