Teoria

Você sabe o que é uma Equação Exponencial?

A Equação Exponencial é uma expressão algébrica que contém pelo menos uma incógnita no expoente.

-Hãam?! 😖

Vou explicar melhor! Quando eu digo expressão algébrica, eu estou querendo dizer que ela tem uma igualdade. Já a incógnita no expoente é nada mais do que um número desconhecido, que geralmente representamos por “ ”!

Exemplos de Equações Exponenciais:

Conseguiu pegar o espirito da coisa?!

Hoje a gente vai aprender sobre equações exponencias e logarítmicas! Se liga nesse vídeo super completo, que o Responde Aí preparou pra você, com tudo o que você precisa saber sobre esse assunto 👇👇👇

Propriedades de Potências

Antes de qualquer coisa, vamos fazer uma breve revisão sobre potência e suas propriedades! 😁

A potência tem essa carinha aqui:

Dando nome aos bois, a potência tem a seguinte “anatomia” hahha:

Potência
Potência

Existem algumas propriedades de potências que são muuuito importantes a gente ter em mente!

Propriedade 1: Potência com expoente igual a zero

Um número qualquer elevado a zero vai ser sempre igual a . Assim:

Exemplo:

Propriedade 2: Potência com expoente igual a 1

Um número elevado a é igual a ele mesmo.

Por exemplo:

Propriedade 3: Potência com expoente negativo

Quando temos uma potência de expoente negativo, escrevemos o inverso da base para que o expoente fique positivo. Assim:

Exemplo:

Propriedade 4: Multiplicação de potências com a mesma base

Quando temos duas bases iguais em uma multiplicação, repetimos a base e somamos o expoente:

Exemplo:

Propriedade 5: Divisão de potências com a mesma base

Essa propriedade segue o mesmo raciocínio que a propriedade de multiplicação! Quando temos duas bases iguais em uma divisão, repetimos a base e subtraímos o expoente:

Exemplo:

Propriedade 6: Potência da potência

Quando temos uma potência de potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Assim:

Exemplo:
.

Propriedade 7: Potência com expoente fracionário

E pra acabar, quando o expoente da potência é uma fração, escrevemos essa potenciação como uma radiciação. Bem assim:

Exemplo:

Se liga na imagem abaixo, com o resumo de todas essas propriedades de potências super importantes:

Propriedades de potências
Propriedades de potências

Beleza, mas a gente esta interessado em equação exponencial, não é mesmo!? 🤣🤣🤣

Passo a Passo de Como Resolver uma Equação Exponencial

Vamos dar uma olhada em um exemplo:

Passo 1: Colocar todos os elementos na mesma base

Sabemos que:

Então podemos substituir na equação:

Passo 2: “Cortar” a base e igualar os expoentes:

Passo 3: Resolver a equação algébrica

Mas essa estava fácil! Vamos fazer um exercício envolvendo fração exponencial!

Exercício Resolvido: Equação Exponencial com Fração

Resolva a seguinte equação exponencial:

Uhhhh, e agora?!! 😱

Vamos organizar os pensamentos! Temos

Então vamos tentar colocar o e o nas bases e , para isso vamos fatorá-los!

Fatoração.
Fatoração.

Agora a gente pode reescrever a equação:

Opaa, agora ficou fácil heim!

Mas repara que o numerador e o denominador estão ao contrário! Para resolver esse problema, podemos fazer o seguinte:

Tá vendo porque que é importante ter as propriedades na ponta da língua?! Agora estamos de cara pro gol, é só finalizar!

Aweeee!

O logaritmo

Agora vamos entender um pouco mais de Logaritmo! O logaritmo está intimamente ligado a exponencial. Ele tem essa carinha aqui:

Ou um exemplo numérico:

Ele remete a seguinte pergunta: 10 (base) elevado a qual número tem como resultado ?

A resposta para essa pergunta é , pois . Portanto:

Essa base  no é bastante comum, de maneira que muitas vezes ela é ocultada, ficando somente:

Quando você ver um log com base oculta, lembre-se que é base . Outras bases estarão especificadas!

Assim como as potências, aqui é muito importante estar atento em algumas propriedades! Você pode conferir as propriedades de clicando aqui!

O logaritmo natural

Assim como a base , existe um outro logaritmo de base bem recorrente no estudo do log. Trata-se do log de base ou seja, o log com base igual ao número de Euler, como:

Essa base, assim como a base , tem uma representação diferente:

Onde o é o logaritmo natural, ou simplesmente o de base .

Equação Logarítmica

A partir disso tudo, podemos falar das equações logarítmicas. Para resolver, a ideia é colocar tudo na mesma base ou tentar cotar o log usando suas propriedades. Vamos ver como isso fica?

Tá, mas qual como transformar esse zero num log de base ? É simples, só lembrar das propriedades:

Então:

E podemos escrever:

Uma vez que está tudo na mesma base, podemos “cortar” o log:

Essa é a solução do problema:

Ihuuul!! Agora bora praticar com mais exercícios?!

Passo a Passo de Como Resolver uma Equação Exponencial

O logaritmo

Equação Logarítmica

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