Equação Exponencial

Precisamos tentar escrever tudo na mesma base. Vamos tentar deixar tudo na base que é mais fácil. Veja que:

E:

Logo:

Substituindo, ficamos com:

Agora que está tudo na mesma base, consideramos somente os expoentes:

Portanto, a solução do problema é:

Veja como isso é verdade:

Novamente, temos que tentar deixar tudo na mesma base. Vamos fazer isso para e , deixando na base . Temos que:

E:

Assim, substituindo:

Usando agora a propriedade onde:

Uma vez que temos tudo na mesma base, basta igualar os exponentes:

Pronto!

Vamos analisar a equação

Podemos reescrevê-la da seguinte forma

Logo, podemos determinar , pois a equação está com as bases iguais, então:

Beleza, agora podemos substituir dentro da outra equação fazendo em primeiro lugar os ajustes necessários

Substituição de :

Colocando na mesma base mais uma vez:

“Cortando as bases”:

Vamos ver equação por equação aqui. Para a primeira, vamos deixa tudo em base :

Assim, podemos reescrever:

Distribuindo e lembrando que:

Temos:

Uma vez que está tudo na mesma base, podemos considerar somente os expoentes:

Vamos deixar o em relação a :

Até aqui, ok? Então vamos substituir o valor de na segunda equação:

E vamos deixar tudo na mesma base , com:

Gerando:

E:

Como temos a mesma base, podemos considerar somente os expoentes:

Legal, encontramos . Agora voltamos a relação entre e para achar o segundo:

Finalmente!

Faala ae!! Beleza??

Então, se liga, para resolver essa equação, a primeira coisa que temos que verificar é a condição de existência desses logaritmos!

Olhando para , temos que:

Certo? Isso porque não temos logaritmo de número negativo, lembra? Com isso, temos:

Beleza?? No segundo logaritmo, temos todas as condições atendidas já. Mas no último , para que esse logartimo exista, , certo?? Portanto, juntando essa informação com a do primeiro logaritmo:

E:

Bom, você concorda comigo que se , ele já atende as duas condições?? Isso porque é um número negativo e qualquer número positivo já é maior que ele, certo?? Então, só precisamos que:

Beleza, agora podemos resolver a equação:

Primeira coisa para fazer as contas é passar tudo para a mesma base. Então, repare que o único logaritmo na base diferente de 2 é . Vamos passar ele para base 2, então:

Foi? Só que sabemos que , né? Então, qual o valor de ? Só se perguntar “quanto devemos elevar o para dar ?” A resposta já foi até dada, pois , logo, . Assim:

Substituindo isso:

Agora vamos dar uma “brincada” com as contas. Primeiro, vamos multiplicar tudo por 2:

Usando a propriedade do log de passar o coeficiente que mutiplica como expoente do logaritmando:

E:

Assim:

Hmmmm, lembra que a substração entre dois logs pode ser reescrita como uma divisão:

Lembra? Vamos usar isso:

Dessa forma:

Agora simm, já que temos a mesma base nos dois logs, podemos desconsiderar eles e igualar apenas os logaritmandos:

Agora virou uma equação que já estamos mais acostumados.

Vamos resolver essa equação:

Podemos passar o 5 multiplicando:

E, abrindo o produto notável:

Opa, equação do segundo grau, amém! Bháskara neles!!

Fatorando , vamos chegar que . Logo:

Beleza?? Agora, achando as duas raízes:

A gente pode perceber que , certo? Então, temos que esse numerador será negativo! No caso, . Então:

E ele não pode ser nossa solução! Isso porque achamos, lá no passo 1, que . Vamos ver a segunda raiz:

Bom, também, podemos ver que o numerador será negativo de novo, né... Agora, . E, pelo mesmo motivo da raiz anterior, esse valor não pode ser uma solução da equação.

E agora??? O que acontece? Não temos solução? É isso mesmo?! Sim ☹. Isso pode acontecer em diversos problemas que encaramos. Nem tudo tem solução, infelizmente. Maaasss isso não necessariamente é ruim, também, ok? Então, relaxa, o que importa é que resolvemos esse problema! 😊 E encontramos que ele não tem solução!