Equação Exponencial

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Teoria

Você sabe o que é uma Equação Exponencial?

A Equação Exponencial é uma expressão algébrica que contém pelo menos uma incógnita no expoente.

-Hãam?! 😖

Vou explicar melhor! Quando eu digo expressão algébrica, eu estou querendo dizer que ela tem uma igualdade. Já a incógnita no expoente é nada mais do que um número desconhecido, que geralmente representamos por “ ”!

Exemplos de Equações Exponenciais:

Conseguiu pegar o espirito da coisa?!

Hoje a gente vai aprender sobre equações exponencias e logarítmicas! Se liga nesse vídeo super completo, que o Responde Aí preparou pra você, com tudo o que você precisa saber sobre esse assunto 👇👇👇

Propriedades de Potências

Antes de qualquer coisa, vamos fazer uma breve revisão sobre potência e suas propriedades! 😁

A potência tem essa carinha aqui:

Dando nome aos bois, a potência tem a seguinte “anatomia” hahha:

Potência
Potência

Existem algumas propriedades de potências que são muuuito importantes a gente ter em mente!

Propriedade 1: Potência com expoente igual a zero

Um número qualquer elevado a zero vai ser sempre igual a . Assim:

Exemplo:

Propriedade 2: Potência com expoente igual a 1

Um número elevado a é igual a ele mesmo.

Por exemplo:

Propriedade 3: Potência com expoente negativo

Quando temos uma potência de expoente negativo, escrevemos o inverso da base para que o expoente fique positivo. Assim:

Exemplo:

Propriedade 4: Multiplicação de potências com a mesma base

Quando temos duas bases iguais em uma multiplicação, repetimos a base e somamos o expoente:

Exemplo:

Propriedade 5: Divisão de potências com a mesma base

Essa propriedade segue o mesmo raciocínio que a propriedade de multiplicação! Quando temos duas bases iguais em uma divisão, repetimos a base e subtraímos o expoente:

Exemplo:

Propriedade 6: Potência da potência

Quando temos uma potência de potência, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Assim:

Exemplo:
.

Propriedade 7: Potência com expoente fracionário

E pra acabar, quando o expoente da potência é uma fração, escrevemos essa potenciação como uma radiciação. Bem assim:

Exemplo:

Se liga na imagem abaixo, com o resumo de todas essas propriedades de potências super importantes:

Propriedades de potências
Propriedades de potências

Beleza, mas a gente esta interessado em equação exponencial, não é mesmo!? 🤣🤣🤣

Passo a Passo de Como Resolver uma Equação Exponencial

Vamos dar uma olhada em um exemplo:

Passo 1: Colocar todos os elementos na mesma base

Sabemos que:

Então podemos substituir na equação:

Passo 2: “Cortar” a base e igualar os expoentes:

Passo 3: Resolver a equação algébrica

Mas essa estava fácil! Vamos fazer um exercício envolvendo fração exponencial!

Exercício Resolvido: Equação Exponencial com Fração

Resolva a seguinte equação exponencial:

Uhhhh, e agora?!! 😱

Vamos organizar os pensamentos! Temos

Então vamos tentar colocar o e o nas bases e , para isso vamos fatorá-los!

Fatoração.
Fatoração.

Agora a gente pode reescrever a equação:

Opaa, agora ficou fácil heim!

Mas repara que o numerador e o denominador estão ao contrário! Para resolver esse problema, podemos fazer o seguinte:

Tá vendo porque que é importante ter as propriedades na ponta da língua?! Agora estamos de cara pro gol, é só finalizar!

Aweeee!

O logaritmo

Agora vamos entender um pouco mais de Logaritmo! O logaritmo está intimamente ligado a exponencial. Ele tem essa carinha aqui:

Ou um exemplo numérico:

Ele remete a seguinte pergunta: 10 (base) elevado a qual número tem como resultado ?

A resposta para essa pergunta é , pois . Portanto:

Essa base  no é bastante comum, de maneira que muitas vezes ela é ocultada, ficando somente:

Quando você ver um log com base oculta, lembre-se que é base . Outras bases estarão especificadas!

Assim como as potências, aqui é muito importante estar atento em algumas propriedades! Você pode conferir as propriedades de clicando aqui!

O logaritmo natural

Assim como a base , existe um outro logaritmo de base bem recorrente no estudo do log. Trata-se do log de base ou seja, o log com base igual ao número de Euler, como:

Essa base, assim como a base , tem uma representação diferente:

Onde o é o logaritmo natural, ou simplesmente o de base .

Equação Logarítmica

A partir disso tudo, podemos falar das equações logarítmicas. Para resolver, a ideia é colocar tudo na mesma base ou tentar cotar o log usando suas propriedades. Vamos ver como isso fica?

Tá, mas qual como transformar esse zero num log de base ? É simples, só lembrar das propriedades:

Então:

E podemos escrever:

Uma vez que está tudo na mesma base, podemos “cortar” o log:

Essa é a solução do problema:

Ihuuul!! Agora bora praticar com mais exercícios?!

Passo a Passo de Como Resolver uma Equação Exponencial

O logaritmo

Equação Logarítmica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva a equação exponencial 3 2 x + 4 = 81

Passo 1

Precisamos tentar escrever tudo na mesma base. Vamos tentar deixar tudo na base 3 que é mais fácil. Veja que:

81 = 9 2

E:

9 = 3 2

Logo:

81 = 3 2 2 = 3 4

Substituindo, ficamos com:

3 2 x + 4 = 81 ⟹ 3 2 x + 4 = 3 4

Passo 2

Agora que está tudo na mesma base, consideramos somente os expoentes: 2 x + 4 = 4 ⟹ 2 x = 0 ⟹ x = 0

Portanto, a solução do problema é: x = 0

Veja como isso é verdade:

3 2 ⋅ 0 + 4 = 81 ⟹ 3 4 = 81 ⟹ 81 = 81

Resposta

x = 0

Exercício Resolvido #2

Resolva:

3 3 x - 2 ⋅ 27 x + 1 = 9 x - 1

Passo 1

Novamente, temos que tentar deixar tudo na mesma base. Vamos fazer isso para 27 e 9 , deixando na base 3 . Temos que:

27 = 3 3

E: 9 = 3 2

Assim, substituindo:

3 3 x - 2 ⋅ 27 x + 1 = 9 x - 1 ⟹ 3 3 x - 2 ⋅ 27 x + 1 = 9 x - 1 ⟹ 3 3 x - 2 ⋅ 3 3 x + 1 = 3 2 x - 1

3 3 x - 2 ⋅ 3 3 x + 3 = 3 2 x - 2

Usando agora a propriedade onde: b a ⋅ b c = b a + c

3 3 x - 2 ⋅ 3 3 x + 3 = 3 2 x - 2 ⟹ 3 6 x + 1 = 3 2 x - 2

Passo 2

Uma vez que temos tudo na mesma base, basta igualar os exponentes:

6 x + 1 = 2 x - 2 ⟹ 4 x = - 3 ⟹ x = - 3 4

Pronto!

Resposta

x = - 3 4

Exercício Resolvido #3

Conhecendo 3 x + 1 = 1 , resolva 1 9 x + 2 y = 25

Passo 1

Vamos analisar a equação 3 x + 1 = 1

Podemos reescrevê-la da seguinte forma

3 x + 1 = 3 0

Logo, podemos determinar x , pois a equação está com as bases iguais, então:

x + 1 = 0

x = - 1

Passo 2

Beleza, agora podemos substituir x dentro da outra equação fazendo em primeiro lugar os ajustes necessários

1 9 x + 2 y = 25

Substituição de x = - 1 :

1 9 - 1 + 2 y = 25

9 + 2 y = 25

2 y = 16

Passo 3

Colocando na mesma base mais uma vez:

2 y = 2 4

“Cortando as bases”:

y = 4

Resposta

x = - 1   e   y = 4

Exercício Resolvido #4

Resolva:

4 x ⋅ 8 y = 1 4 9 x ⋅ 27 2 y = 3

Passo 1

Vamos ver equação por equação aqui. Para a primeira, vamos deixa tudo em base 2 : 4 = 2 2

8 = 2 3

1 4 = 4 - 1 = 2 2 - 1 = 2 - 2

Assim, podemos reescrever:

4 x ⋅ 8 y = 1 4 ⟹ 2 2 x ⋅ 2 3 y = 2 - 2

Distribuindo e lembrando que:

b a ⋅ b c = b a + c

Temos:

2 2 x ⋅ 2 3 y = 2 - 2 ⟹ 2 2 x ⋅ 2 3 y = 2 - 2 ⟹ 2 2 x + 3 y = 2 - 2

Uma vez que está tudo na mesma base, podemos considerar somente os expoentes:

2 x + 3 y = - 2

Vamos deixar o y em relação a x :

3 y = - 2 - 2 x ⟹ y = - 2 3 x + 1

Passo 2

Até aqui, ok? Então vamos substituir o valor de y na segunda equação:

9 x ⋅ 27 2 y = 3 ⟹ 9 x ⋅ 27 - 4 3 x + 1 = 3

E vamos deixar tudo na mesma base 3 , com: 9 = 3 2

27 = 3 3

Gerando:

9 x ⋅ 27 - 4 3 x + 1 = 3 ⟹ 3 2 x ⋅ 3 3 - 4 3 x + 1 = 3 ⟹ 3 2 x ⋅ 3 - 4 x + 1 = 3

E:

3 2 x ⋅ 3 - 4 x + 1 = 3 ⟹ 3 2 x - 4 x - 4 = 3 ⟹ 3 - 2 x - 4 = 3 1

Como temos a mesma base, podemos considerar somente os expoentes:

- 2 x - 4 = 1 ⟹ 2 x + 4 = - 1 ⟹ 2 x = - 5 ⟹ x = - 5 2

Passo 3

Legal, encontramos x . Agora voltamos a relação entre x e y para achar o segundo:

y = - 2 3 x + 1 = - 2 3 - 5 2 + 1 = - 2 3 - 3 2 = 3 3 = 1

Finalmente!

Resposta

x = - 5 2 ,   y = 1

Exercício Resolvido #5

Encontre, se existir, o valor de x que satisfaça:

log 2 ⁡ ( 5 x + 2 ) - log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ ( x )

Passo 1

Faala ae!! Beleza??

Então, se liga, para resolver essa equação, a primeira coisa que temos que verificar é a condição de existência desses logaritmos!

Olhando para log 2 ⁡ ( 5 x + 2 ) , temos que:

5 x + 2 > 0

Certo? Isso porque não temos logaritmo de número negativo, lembra? Com isso, temos:

5 x + 2 > 0

5 x > - 2

x > - 2 5

Beleza?? No segundo logaritmo, temos todas as condições atendidas já. Mas no último log 2 ⁡ ( x ) , para que esse logartimo exista, x > 0 , certo?? Portanto, juntando essa informação com a do primeiro logaritmo:

x > - 2 5

E:

x > 0

Bom, você concorda comigo que se x > 0 , ele já atende as duas condições?? Isso porque - 2 / 5 é um número negativo e qualquer número positivo já é maior que ele, certo?? Então, só precisamos que:

x > 0

Passo 2

Beleza, agora podemos resolver a equação:

log 2 ⁡ 5 x + 2 - log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ x

Primeira coisa para fazer as contas é passar tudo para a mesma base. Então, repare que o único logaritmo na base diferente de 2 é log 4 ⁡ 5 . Vamos passar ele para base 2, então:

log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ ( 5 ) log 2 ⁡ ( 4 )

Foi? Só que sabemos que 2 2 = 4 , né? Então, qual o valor de log 2 ⁡ ( 4 ) ? Só se perguntar “quanto devemos elevar o 2 para dar 4 ?” A resposta já foi até dada, pois 2 2 = 4 , logo, log 2 ⁡ ( 4 ) = 2 . Assim:

log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ ( 5 ) 2

Substituindo isso:

log 2 ⁡ 5 x + 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) 2 = log 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos dar uma “brincada” com as contas. Primeiro, vamos multiplicar tudo por 2:

2 log 2 ⁡ 5 x + 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) = 2 log 2 ⁡ x

Usando a propriedade do log de passar o coeficiente que mutiplica como expoente do logaritmando:

2 log 2 ⁡ 5 x + 2 = log 2 ⁡ 5 x + 2 2

E:

2 log 2 ⁡ x = log 2 ⁡ x 2

Assim:

log 2 ⁡ 5 x + 2 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) = log 2 ⁡ x 2

Hmmmm, lembra que a substração entre dois logs pode ser reescrita como uma divisão:

log a ⁡ b - log a ⁡ c = log a ⁡ b c

Lembra? Vamos usar isso:

log 2 ⁡ 5 x + 2 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) = log 2 ⁡ 5 x + 2 2 5

Dessa forma:

log 2 ⁡ 5 x + 2 2 5 = log 2 ⁡ x 2

Agora simm, já que temos a mesma base nos dois logs, podemos desconsiderar eles e igualar apenas os logaritmandos:

5 x + 2 2 5 = x 2

Agora virou uma equação que já estamos mais acostumados.

Passo 4

Vamos resolver essa equação:

5 x + 2 2 5 = x 2

Podemos passar o 5 multiplicando:

5 x + 2 2 = 5 x 2

E, abrindo o produto notável:

25 x 2 + 20 x + 4 = 5 x 2

25 x 2 - 5 x 2 + 20 x + 4 = 0

2 0 x 2 + 20 x + 4 = 0

Opa, equação do segundo grau, amém! Bháskara neles!!

- 20 ± 20 2 - 4 20 4 2 20 = - 20 ± 400 - 320 40 =

= - 20 ± 80 40

Fatorando 80 , vamos chegar que 80 = 16 × 5 = 2 4 × 5 . Logo:

= - 20 ± 2 4 ( 5 ) 40 = - 20 ± 2 2 5 40 = - 20 ± 4 5 40

Beleza?? Agora, achando as duas raízes:

x 1 = - 20 + 4 5 40 = - 5 + 5 10

A gente pode perceber que 5 < 5 , certo? Então, temos que esse numerador será negativo! No caso, - 5 + 5 ≈ - 2,764 . Então:

x 1 < 0

E ele não pode ser nossa solução! Isso porque achamos, lá no passo 1, que x > 0 . Vamos ver a segunda raiz:

x 2 = - 20 - 4 5 40 = - 5 - 5 10

Bom, também, podemos ver que o numerador será negativo de novo, né... Agora, - 5 - 5 ≈ - 7,236 . E, pelo mesmo motivo da raiz anterior, esse valor não pode ser uma solução da equação.

E agora??? O que acontece? Não temos solução? É isso mesmo?! Sim ☹. Isso pode acontecer em diversos problemas que encaramos. Nem tudo tem solução, infelizmente. Maaasss isso não necessariamente é ruim, também, ok? Então, relaxa, o que importa é que resolvemos esse problema! 😊 E encontramos que ele não tem solução!

Resposta

Não existe solução para essa equação.

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