Equações trigonométricas
Produzido por Erick PinhoTeoria
Introdução
PARAAAA TUDOOOO!!! Meu anjo, você já pode ser considerado o mestre das equações! Chegamos nas mais temidas, mas relaxa que você vai pegar de boa!
Chegou a hora de falar de equações trigonométricas, que são equações envolvendo seno, cossenos, tangente e relacionados, como:
Equações trigonométricas e solução para a primeira volta
Para equação do exemplo acima, temos que encontrar um valor para o seno no qual:
Vimos nas seções anteriores que:
Então temos:
Para a primeira equação, encontramos:
Para a segunda:
Essas são soluções do problema, mas ainda não são todas.
Equações trigonométricas e congruência de arcos
No círculo trigonométrico, temos que a cada rad ou passamos novamente pela origem da circunferência. Isso significa que os valores de seno e cosseno se repetem a cada rad ou conforme a congruência dos arcos. Ou seja, se eu te dou um ângulo de , você sabe que são duas voltas naquele círculo e, da mesma forma, eu posso dar quantas voltas eu quiser!!! Dessa forma, não só temos:
Mas também:
Sendo qualquer número inteiro. E negócio de , que eu gentilmente escreverei por questão menos zoeira, só quer indicar que você pode estar dando voltas no círculo! Você pode tanto resolver o problema para as duas situações ou visualizar o que o seno está zerando a cada radianos, o que significa que:
Ou seja:
Essa é a solução final do problema!
Ué, então e que encontramos no início estão errados? Não! Eles fazem parte da solução da equação, mas só indicam os valores possíveis de para a primeira volta no círculo trigonométrico, ou para ângulos entre e rad, basta substituir por e . A solução que acabamos de achar é válida para qualquer número de voltas que dermos e é a solução completa do problema!
Veja que, para :
Que é o primeiro resultado. Para :
Que é o segundo! Viu? A solução para a primeira volta está dentro do conjunto solução para todas as voltas possíveis.
Equações envolvendo diferentes relações trigonométricas
Para o objetivo dessa seção, precisamos estar afiados com as principais relações trigonométricas. Então vamos relembrá-las:
Disso tiramos:
Temos que estar afinados também com soma e subtração:
Com tudo isso em mente, vamos ver agora como resolver equações como:
Ou seja, equações que não envolvem somente seno, cosseno ou tangente, mas uma combinação deles.
Resolver esse tipo de equação parte do princípio que podemos reduzi-las às equações com somente seno, cosseno e tangente, como vimos na última seção. Vamos tentar fazer isso com o nosso problema?
Vamos agora separar esse arco duplo:
Substituindo na equação:
Jogando o para o outro lado:
Quando fazemos isso, temos que desconsiderar todos os valores nos quais o é zero, pois levaria a uma divisão por zero. Dessa maneira, isso é válido para , com inteiro.
Sabendo isso, chegamos a:
O seno vale para ângulos de e rad. Considerando também a congruência dos arcos, chegaremos a:
Veja que nenhum desses valores bate com a restrição gerada na hora de cortar o cosseno. Portanto essa é a solução final do problema.
Para não escapar nada...
Por que você usou sempre ângulos em radianos e nunca em graus? Porque a solução em valores de deve sempre ser dada em radianos e nunca em graus. Caso você esteja com alguma dificuldade em lidar com esses radianos, pense nos valores em graus e depois converta para radianos usando a fórmula:
Você vai ver que, com a prática, os valores em radianos vão se tornar naturais e a dificuldade não vai mais existir.