Equações trigonométricas
Teoria
Introdução
PARAAAA TUDOOOO!!! Meu anjo, você já pode ser considerado o mestre das equações! Chegamos nas mais temidas, mas relaxa que você vai pegar de boa!
Chegou a hora de falar de equações trigonométricas, que são equações envolvendo seno, cossenos, tangente e relacionados, como:
Equações trigonométricas e solução para a primeira volta
Para equação do exemplo acima, temos que encontrar um valor para o seno no qual:
Vimos nas seções anteriores que:
Então temos:
Para a primeira equação, encontramos:
Para a segunda:
Essas são soluções do problema, mas ainda não são todas.
Equações trigonométricas e congruência de arcos
No círculo trigonométrico, temos que a cada rad ou passamos novamente pela origem da circunferência. Isso significa que os valores de seno e cosseno se repetem a cada rad ou conforme a congruência dos arcos. Ou seja, se eu te dou um ângulo de , você sabe que são duas voltas naquele círculo e, da mesma forma, eu posso dar quantas voltas eu quiser!!! Dessa forma, não só temos:
Mas também:
Sendo qualquer número inteiro. E negócio de , que eu gentilmente escreverei por questão menos zoeira, só quer indicar que você pode estar dando voltas no círculo! Você pode tanto resolver o problema para as duas situações ou visualizar o que o seno está zerando a cada radianos, o que significa que:
Ou seja:
Essa é a solução final do problema!
Ué, então e que encontramos no início estão errados? Não! Eles fazem parte da solução da equação, mas só indicam os valores possíveis de para a primeira volta no círculo trigonométrico, ou para ângulos entre e rad, basta substituir por e . A solução que acabamos de achar é válida para qualquer número de voltas que dermos e é a solução completa do problema!
Veja que, para :
Que é o primeiro resultado. Para :
Que é o segundo! Viu? A solução para a primeira volta está dentro do conjunto solução para todas as voltas possíveis.
Equações envolvendo diferentes relações trigonométricas
Para o objetivo dessa seção, precisamos estar afiados com as principais relações trigonométricas. Então vamos relembrá-las:
Disso tiramos:
Temos que estar afinados também com soma e subtração:
Com tudo isso em mente, vamos ver agora como resolver equações como:
Ou seja, equações que não envolvem somente seno, cosseno ou tangente, mas uma combinação deles.
Resolver esse tipo de equação parte do princípio que podemos reduzi-las às equações com somente seno, cosseno e tangente, como vimos na última seção. Vamos tentar fazer isso com o nosso problema?
Vamos agora separar esse arco duplo:
Substituindo na equação:
Jogando o para o outro lado:
Quando fazemos isso, temos que desconsiderar todos os valores nos quais o é zero, pois levaria a uma divisão por zero. Dessa maneira, isso é válido para , com inteiro.
Sabendo isso, chegamos a:
O seno vale para ângulos de e rad. Considerando também a congruência dos arcos, chegaremos a:
Veja que nenhum desses valores bate com a restrição gerada na hora de cortar o cosseno. Portanto essa é a solução final do problema.
Para não escapar nada...
Por que você usou sempre ângulos em radianos e nunca em graus? Porque a solução em valores de deve sempre ser dada em radianos e nunca em graus. Caso você esteja com alguma dificuldade em lidar com esses radianos, pense nos valores em graus e depois converta para radianos usando a fórmula:
Você vai ver que, com a prática, os valores em radianos vão se tornar naturais e a dificuldade não vai mais existir.
Equações trigonométricas e congruência de arcos
Equações envolvendo diferentes relações trigonométricas
Para não escapar nada...
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
A soma das duas menores soluções positivas da equação
É:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Precisamos achar os valores para dentro do argumento para os quais o seno é zero. Pelo círculo trigonométrico, vemos que o seno zera a cada múltiplo de rad. Assim:
Os dois menores valores positivos serão encontrados para e e, portanto:
E:
Essas são as duas primeiras soluções do problema.
Passo 2
Agora é só tirar a soma:
Letra !
Resposta
Letra .
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Se é um ângulo tal que:
E o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado de sua tangente, então o valor do seu cosseno é:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
A partir do enunciado, construímos a equação:
Vamos tentar simplificar essa equação. Vamos começar abrindo a tangente:
Passo 2
Já podemos simplificar, cortando o seno:
Pela relação fundamental da trigonometria, temos que:
Substituindo:
Agora, elevamos os dois lados ao quadrado para retirar a raiz:
Passo 3
Aqui está o pulo do gato da questão. Se fizermos , teremos:
Que é uma equação de segundo grau. Podemos resolvê-la por Bhaskara mesmo:
Logo, teremos:
Passo 4
Temos que:
Logo:
Porém, um número ao quadrado não pode dar negativo para o conjunto dos reais, logo descartamos essa raiz, sobrando:
Esse é o valor do cosseno! Letra . Ufa!
Resposta
Letra .
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Se , determine a maior das soluções da equação:
Passo 1
Bom, primeiro boa isolar esse cosseno:
Então temos que:
Passo 2
E os ângulos que possuem esse cosseno são:
Então:
E:
Passo 3
Agora vamos testar os valores de para que o pertença ao intervalo .
Para :
Para :
Porém, e estão fora do intervalo , já que são maiores do que . Portanto, as respostas são e . Como ele quer a maior, temos que .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Resolva a equação trigonométrica, sabendo que :
Passo 1
Faaaaala aí, meu anjo! Vamos resolver esse bichinho aí!
Dessa equação, tiramos que:
Passo 2
Se
Temos que:
E os ângulos que têm tangente são:
Mas perceba que , então podemos escrever os ângulos como:
Passo 3
Se
Temos que:
E os ângulos que têm tangente são:
Mas perceba que , então podemos escrever os ângulos como:
Passo 4
Mas como queremos apenas os ângulos no intervalo :
Então:
Poderíamos achar esses valores substituindo os valores de , dá no mesmo!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Resolva a equação , sendo um arco pertencente ao intervalo .
Passo 1
Bom, vamos começar manipulando da seguinte forma:
Sendo que, pela relação fundamental:
Então:
Colocando em evidência:
Isso significa que:
Passo 2
Para , temos que:
Para , temos que:
Passo 3
Mas como temos que , precisamos dos valores de que estejam dentro desse intervalo!
Para :
Para :
Mas não está no intervalo, já que é maior que .
Para :
Mas não está no intervalo! Então temos soluções possíveis: