Função Exponencial
Teoria
Expoentes e Raízes
Vou confessar uma coisa a você, CANSEI DE SER EXPERT NO RESPONDE AÍ. Vou trabalhar agora como empregado doméstico e quero oferecer meus serviços a VOCÊ! (Olha que privilégio, rs)
Agora olha como eu sou bonzinho, no primeiro mês eu quero ganhar míseros 2 REAIS, isso mesmo, 2 REAIS.
Maaaas tenho minhas exigências, quero que você assine um contrato de 2 anos e que todo mês você DOBRE o meu salário.
Show, né?
Prometo que faço de tudo, lavo, passo, arrumo casa, faço sua comida preferida, escolho as melhores séries pra você assistir, de quebra, ainda te ajudo em pré-cálculo hahaha
E aí, vai me contratar ou não?
Vou te dar uns 5 segundos pra pensar!!!
.
.
.
.
Pensou?
Vamos fazer umas continhas, pra saber quanto vou ganhar em cada mês:
Fala aí, molezinha né?
Somando o meu salário nos primeiros 7 meses, a gente vai ter míseros 254 reais. Nem aperta o orçamento né?
Mesmo sendo universitário, dá pra pagar! (Ou não =D #descubra)
Vamos entender o que está acontecendo aqui na nossa tabela...
O que a gente fez foi criar um padrão, certo?
Um jeito de economizar esforço. Ao invés de escrevermos:
Podemos escrever:
(Lindo)
Agora, tente calcular o quanto eu vou ganhar no último mês de contrato...
.
.
.
Vamos usar a mesma ideia, eu te disse que o contrato vai ser de 2 anos = 24 meses.
Ou seja, teremos que:
Se você ficou com essa cara aí, não se assusta! Coisas exponenciais realmente crescem MUITO, MUUUUUUITO RÁPIDO. A ponto de eu estar ganhando 128 reais no 7º mês e aquele absurdo no 24º rs
ACHO QUE ALGUÉM DESISTIU DE ME CONTRATAR, SÓ ACHO HAHAHAHA
Ah, era brincadeira, tá? Tô muito feliz aqui falando com você, não quero trocar de emprego!
A Função Exponencial
Vamos entender melhor o processo agora, a função exponencial é uma função da forma:
Onde é um número real positivo que nós chamamos de base. O argumento é chamado de expoente. Basicamente o que essa função faz é pegar a base e multiplicar por si mesma vezes. Por exemplo:
Se fizermos o :
A função exponencial também pode vir multiplicada por uma constante qualquer, por exemplo:
Daí, substituindo alguns valores teríamos:
E é basicamente isso que precisamos saber do escopo da função exponencial.
Domínio
Vamos tomar como exemplo a função
E vamos considerar aqui diferentes valores de pra ver o que acontece com a função:
- e inteiro:
- e não inteiro:
- :
Neste caso, temos um número positivo multiplicado por ele mesmo vezes. Não há nenhum mal nisso e não haverá indeterminação.
Neste caso, podemos ter uma raiz aparecendo, uma vez que, por exemplo:
Porém, como definimos que na função exponencial, a raiz será sempre positiva, e novamente está tudo ok!
Nesse caso também não tem nenhum problema, já que sempre que o expoente é negativo, descemos a potência para o denominador, por exemplo:
A única coisa que poderia dar problema aqui é se tivéssemos zero embaixo, já que não conseguimos dividir por zero. Porém, como , esse denominador nunca será zero, então também não haverá indeterminação ou singularidade.
Logo, se o pode ser qualquer coisa, temos que o pertence aos reais, ou seja, o domínio é:
Gráfico
O gráfico da função exponencial depende da sua base. No caso, existem duas possibilidades que vamos estudar. A primeira é se a base for maior que :
O outro caso é se a base estiver entre zero e um:
No primeiro caso, o gráfico da função é uma crescente que corta o eixo no ponto , ou se a função estiver sendo multiplicada por uma constante “”.
No segundo caso, a função é uma decrescente que também corta o eixo no mesmo ponto de antes.
Repare que a função, em ambos casos, se aproxima cada vez mais de zero, mas nunca chega a esse valor.
Imagem
Vimos que o domínio é composto por todo o conjunto dos números reais, mas a imagem, que é o conjunto dos valores que o assume, vai ser limitado. À princípio, pode parecer estranho de perceber, mas note:
A função é a mesma coisa que multiplicar um número positivo () por si mesmo várias vezes. Então eu lhe pergunto, tem como o resultado dar negativo? A resposta é não, já que a multiplicação de números positivos, sempre dá outro número positivo.
E zero? Pode dar zero? Como o é diferente de zero, também não tem como. Portanto:
Dessa forma, a imagem é qualquer número real positivo, como podemos perceber nos gráficos onde a função está representada apenas acima do eixo !
Podemos representar esse conjunto de três maneirais:
O sinal de mais em cima do indica que são os reais positivos incluindo o zero. Nós fazemos a operação de excluir o elemento zero (), pois ele não faz parte da imagem.
Já o indica que são os reais positivos excluindo o zero, que é exatamente a imagem da função!
Número de Euler
Uma função muito recorrente no cálculo é a função exponencial de base .
Esse é um número irracional assim como nosso amiguinho . Seu valor é aproximadamente:
Existem diversas situações associadas ao número e que serão discutidas mais para frente.
A Função Exponencial
Domínio
Gráfico
Imagem
Número de Euler
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Determine o valor de , tal que , de forma que a função exponencial
Seja decrescente.
Passo 1
Fala Aíí!! Para resolver essa questão precisamos relembrar que a função decrescente fica entre e :
Assim, a função será decrescente quando
Beleza?!
Passo 2
Assim, podemos somar aos membros da desigualdade, ficando com
Fazendo as continhas, temos
Portanto, a função será decrescente quando
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine o valor de , tal que , de forma que a função exponencial
Seja crescente.
Passo 1
Fala Aíí!! Para resolver essa questão precisamos relembrar que a função decrescente fica entre e :
Assim, a função será crescente quando
Beleza?!
Passo 2
Assim, podemos somar aos membros da desigualdade, ficando com
Fazendo as continhas, temos
Portanto, a função será crescente quando
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Unit-SE
Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, anos após a sua compra, é dado por
em que é uma constante real.
Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo , determine o valor que ela foi comprada.
Passo 1
Fala Aíí! Queremos determinar o valor que a máquina foi comprada após 10 anos, certo? Como podemos descobrir esse valor?
Note que temos a carinha da nossa função exponencial que diz o valor da máquina após um determinado tempo:
Como queremos saber o valor que a máquina foi comprada, queremos encontrar o valor de !
Passo 2
Então vamos lá! Nossa função tem a carinha
E no enunciado temos as informações de
E o valor que a máquina está valendo após esses anos
Assim, podemos substituir esses valores na função
Fazendo as continhas para isolar , temos
Assim,
Logo, a máquina foi comprada por !!
Resposta
A máquina foi comprada por .
Exercício Resolvido #4
PUCC-SP
Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de a partir do seu centro é dado por
em que é constante e .
Se há habitantes num raio de do centro, quantos habitantes há num raio de do centro?
Passo 1
Vamos lááá!! Queremos encontrar a quantidade de habitantes num raio de do centro, certo?!
Ou seja,
Epa! Mas temos esse no nosso caminho. Como podemos descobrir o valor dele?
Vamos começar por aí!!
Passo 2
Se você reparar, no enunciado nos é dada a seguinte informação: “Se há habitantes num raio de do centro...”. Vamos utilizar essa informação para encontrar o valor da constante !
Temos a quantidade de habitantes e o raio:
Substitundo essas informações na nossa função exponencial
Temos
Assim,
Então já temos o valor da constante !
Passo 3
Agora conseguimos encontrar a quantidade de habitantes num raio de do centro:
Substituindo o valor da constante , temos
Assim,
Logo,
Ou seja, é o número de habitantes num raio de do centro.
Resposta
Exercício Resolvido #5
UEMA
Seja
O valor de para que se tenha é:
Passo 1
Vamos lá!! A carinha da função exponencial e queremos encontrar o valor de de forma que , certo? Como podemos fazer isso??
Primeiro passo é substituir a função
Na igualdade
Beleza?! Assim,
Passo 2
Se você reparar, todos os termos do lado esquerdo da equação tem o , então vamos colocá-lo em evidência, beleza?!
Tá... mas como podemos tirar esses expoentes negativos??
Bom, podemos inverter o sinal do expoente transformando-o em uma fração! Vai ficar assim:
Beleza?!
Passo 3
Fazendo as continhas, temos
Agora podemos fazer o MMC entre os denominadores, assim
Continuando as continhas, temos
Passo 4
Agora passaremos o para o lado direito da equação. Para isso, precisaremos inverter o numerador e o denominador:
OPA! Podemos simplificar e cortar o !!
Assim, ficamos com
Passo 5
Ó, do lado esquerdo da equação temos um número com base , certo? Vamos tentar escrever o lado direito da equação como um número de base também???
Se você reparar, podemos reescrever o número como
Assim, ficamos com
Dessa forma conseguimos encontrar o valor de :
Resposta
Exercício Resolvido #6
AV1 Estácio de Sá
Um alimento mal conservado apresenta uma bactéria que se reproduz segundo a lei
, onde é o numero de horas e é o numero de bactérias. Determine o numero de bactérias na terceira hora.
Passo 1
Essa questão é muito fácil. Por mais bizarro que pareça, é só substituir o número de horas que foi pedido.
horas
Resposta
bacterias após 3 horas.
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria
Considere que a expressão representa a curva de aprendizagem, onde é a quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário, t os meses de experiência e é o número de Euler.
a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente.
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?
Passo 1
A letra (a) é bem simples. Basta substituir na expressão dada:
Passo 2
Sem experiência nenhuma implica em , já que são os meses de experiência. Dessa maneira:
Não vai colocar que , hein? Para qualquer base, isso é sempre .
Resposta
- peças.
- peças.
Exercício Resolvido #8
PUC - RJ 2018
Cientistas brasileiros verificaram que uma determinada colônia de bactérias triplica a cada meia hora. Uma amostra de 10000 bactérias por mililitro foi colocada em um tubo de ensaio e, após um tempo x verificou-se que o total era de bactérias por mililitro.
Qual é o valor de x?
a) duas horas
b) duas horas e 30 minutos
c) 3 horas e trinta minutos
d) 48 horas
e) 264 horas
Passo 1
Beleza, logo no início da questão, ele dá uma regra geral de como as bactérias crescem, o enunciado diz que a cada meia hora o número de bactérias triplica. Se em meia hora ela triplica em uma hora o numéro de bactérias aumenta em 9 vezes (3²)
No entanto, o número de bactérias inicial é de 10000 por mililitro.
Então podemos escrever a nossa função da seguinte forma:
Onde:
Número de bactérias
Número de horas
Passo 2
No enunciado ele disse que o número de bactérias é igual a e quer saber quanto tempo demora pra chegar nessa quantidade. Ou seja, basta igualarmos a nossa função a essa quantidade que ele deu de bactérias. Partiu?
Teremos:
Melhorando a escrita, fica assim ó:
Por fim...
Então,
Ou seja, a resposta será a letra B (2 horas e 30 minutos).
Tranquilo?
Resposta
Letra B
Exercício Resolvido #9
Epcar 2017
A função real definida por sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo.
Pode-se afirmar que o produto (a . b) pertence ao intervalo real
a) [-4, -1[
b) [-1, 2[
c) [2, 5[
d) [5, 8[
Passo 1
Se observarmos direitinho, veremos que o gráfico nos dá dois pontos e claro, eles não estão ali à toa. Nós vamos usar eles rs
Os pontos mostrados em nosso gráfico, são:
Beleza, substituindo esses pontos na função dada, teremos:
Para o ponto
Para o ponto
Usando (*) em (**), teremos:
Sendo assim, o produto entre será:
Ou seja, a nossa resposta estará entre
LETRA A
Resposta
Letra A
Exercício Resolvido #10
UPF 2018 (Adaptada)
Na figura abaixo, está representado um triângulo retângulo em que os vértices A e B pertencem ao gráfico da função f, definida por
Como indica a figura, a abscissa do ponto B é 1 a ordenada do ponto A é 2 e os pontos A e C têm a mesma abscissa. Qual a medida da área do triângulo ABC?
Passo 1
Show, para conseguirmos encontrar a área desse triângulo vamos precisar do tamanho da base e da altura dele, para isso, antes de tudo, vamos descobrir quais são os vértices do triângulo.
Sabemos que os vértices tem as seguintes coordenadas:
Precisamos descobrir os valores de .
Olhando para o primeiro ponto (A) e substituindo na nossa lei de formação, teremos:
Entããããão ...
Beleza, vamos olhar para o ponto B agora e fazer o mesmo processo (Substituir na lei de formação):
Ou seja, os vértices do triângulo serão:
Passo 2
Marcando as coordenadas dos nossos vértices,nossa figura ficará assim:
Beleza, com esses nossos vértices, o nosso triângulo terá os seguintes valores para a base e a altura:
Sendo assim, a área será dada por: