Inequação Modular
Teoria
Fala aí! Hoje vamos aprender sobre inequações modulares e como resolver exercícios envolvendo esses caras.
Tá preparado? Então vem comigo 😆
⭐ Veja também ⭐
- Exercícios resolvidos de inequações modulares.
- Inequações polinomiais.
- Inequações exponenciais e logarítmicas.
- Inequações trigonométricas.
O que é uma Inequação Modular?
As inequações modulares que a gente vai ver são expressões que envolvem sinais de desigualdade e incógnitas dentro de módulos. Mais ou menos assim ó:
Pra entender o que vamos discutir aqui, é extremamente importante que você esteja dominando aquela definição clássica do módulo de um número!
Se tiver se esquecido, vale refrescar a memória:
Belezinha? Com base nisso aí, saca esse exemplo:
Com essa definição, a gente consegue formalizar aquela noção de que “módulo é só desconsiderar o sinal”.
Tranquilo?
Vamos pensar no módulo como distância pra facilitar as coisas. Da seguinte forma:
O
Só que existe um outro número na reta real que tem exatamente essa mesma distância até o 0. Consegue adivinhar qual é?
Isso mesmo! É o
Agora vamos um pouquinho além 😉
Se eu te falar que o módulo de
Só que, de novo, existe um número lá do lado dos negativos que vai ter a mesma distância que
Observando essa reta aí, a gente pode concluir duas coisas:
Agora, vamos pensar nesse caso aqui:
Dessa vez, a distância entre
Então a gente pode dizer isso aqui:
Maravilha! Se você entendeu isso aí, já estamos com 80% do caminho andado 😆
Repara que antes eu circulei um “ou”, ali em cima. Mas dessa vez apareceu um “e”. Isso não é arbitrário não viu? Já te explico na próxima parte.
Antes de prosseguirmos, se você ainda ficou com dúvida, confere esse vídeozinho aqui com uma explicação bem detalhada 👇
Agora, vamos ver como resolver uma inequação modular de fato.
Como resolver uma inequação modular
A gente vai dividir as resoluções em dois casos: módulo menor que um número e módulo maior que um número. Tal como mostrei aí em cima.
Caso 1: Módulo menor que um número
Esse caso tem essa carinha aqui:
Da mesma forma que fizemos anteriormente, a distância de todo aquele termo ali do lado direito até o zero vai ser menor que 4. Então, a gente procede assim:
E aí resolvemos uma inequação de cada vez. Se liga:
Agora a outra:
Beleza! Agora é só juntar as duas respostas!
Caso 2: Módulo maior que um número
Dessa vez, a gente tem algo desse tipo aqui:
Então, a gente vai ter duas expressões, tal como fizemos lá no começo:
Olha aquele ou aí de novo! Ele tá aí pra mostrar que a nossa solução nesse caso aqui vai ser a união de dois intervalos, e não mais a interseção 😁
Em sequência, vamos resolver a primeira inequação:
E a segunda:
Logo, a solução é:
Belezinha?
Então bora complicar um pouquinho mais com nossos exercícios resolvidos passo a passo ☺️
Como resolver uma inequação modular
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Resolva as inequações modulares abaixo:
Passo 1
Vamos lá!!! Na letra (a) precisamos calcular a inequação
Quando temos uma inequação do tipo
Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações
e
Beleza?!
Assim, para a inequação
Teremos
ou
Ou seja, o nosso conjunto solução é
Passo 2
Na letra (b) precisamos calcular a inequação
Quando temos uma inequação do tipo
Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações
e
Assim, para a inequação
Teremos
e
Portanto, o nosso conjunto solução é
Beleza?!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Resolva a inequação modular
Passo 1
Vamos lá!!! Queremos resolver a inequação modular
Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?
Quando temos uma inequação do tipo
Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações
e
Beleza?!
Passo 2
Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos
e
Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a interseção das duas!
Primeiro resolvendo
Isolando , temos
Agora resolvendo a segunda inequação
Isolando o
A nossa solução será a interseção
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Resolva a inequação modular abaixo
Passo 1
Vamos lá!!! Queremos resolver a inequação modular
Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?
Quando temos uma inequação do tipo
Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações
ou
Beleza?!
Passo 2
Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos
ou
Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a união das duas!
Primeiro resolvendo
Isolando , temos
Agora resolvendo a segunda inequação
Isolando o
Podemos escrever isso ao contrário
A nossa solução será
ou
Resposta
ou
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Qual o conjunto solução da inequação abaixo
Passo 1
Eitaaaa! Pode ser que o pensamento aqui seja utilizar o método que aprendemos para resolver esse tipo de inequação, certo?! Mas aqui não podemos utilizar o método que vimos....
Se você reparar, o valor numérico que se encontra do lado direito da desigualdade é menor que zero, ou negativo! O módulo de qualquer número real jamais pode ser negativo!
Portanto, não existe nenhum valor de x que possa satisfazer essa inequação, e a solução para o exemplo só pode ser dada através do conjunto vazio.
Assim, nosso conjunto solução
Resposta
Letra C
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Resolva a inequação modular abaixo
Passo 1
Opaaa! Queremos resolver a inequação modular
Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?
Quando temos uma inequação do tipo
Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações
ou
Beleza?!
Passo 2
Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos
ou
Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a união das duas!
Primeiro resolvendo
Isolando , temos
Agora resolvendo a segunda inequação
Isolando o
Podemos escrever isso ao contrário
A nossa solução será
ou
Resposta
ou
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Resolva a seguinte inequação abaixo
Passo 1
Bem esse nosso exercício é de inequação, porque tem o sinal de desigualdade ali dentro. Repara que temos um módulo junto, então essa é aquele tipo de inequação que vimos na teoria, lembra como fica? Temos que achar duas inequações, como o sinal é de maior ou igual, temos que fazer as seguintes inequações
Aí pegamos a união desses intervalos da solução.
Vamos começar com a primeira inequação
Então
Passo 2
Vamos agora para a segunda inequação, que vai ser
Podemos escrever isso ao contrário,
E a nossa solução vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria
Determine a solução da inequação abaixo
Passo 1
Aqui de novo temos uma inequação com módulo, dessa vez é uma função de segundo grau ali dentro, mas não vamos nos preocupar com isso por enquanto.
Vamos entender isso como a inequação módular com menor ou igual, vamos ter duas inequações abaixo
Temos que pegar a interseção das soluções duas inequações.
Passo 2
Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter
Arrumando isso vamos ter
Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que .
A função de grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser
Assim temos
O gráfico vai ser
Então a nossa função vai ser negativa entre a e positiva no resto.
Como ele quer a parte negativa a solução dessa nossa inequação vai ser
Passo 3
Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter
Arrumando isso vamos ter
Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que .
A função de grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser
As soluções vão ser
O seu gráfico vai ficar
Então a nossa função vai ser negativa entre a e positiva no resto.
Como ele quer a parte positiva da solução dessa nossa inequação vai ser
Passo 4
A nossa solução vai ser a interseção das suas soluções que achamos antes
Assim a interseção dessa parada vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #8
Elaboração Própria
Determine a solução na inequação abaixo
Passo 1
De novo caímos naquela situação de inequações modulares com dois módulos, podemos resolver daquela forma que fizemos nos exercícios anteriores, mas é mais fácil dar uma manipulada nisso e transformar em um módulo só. Diferente do outro exercício que é mais tranquilo fazer da forma tradicional.
Vamos começar arrumando isso do lado direito,
Vamos passar aquele módulo de para a esquerda multiplicando, mas lembrando que ele nunca pode ser , assim já temos que excluir da nossa solução o , mais tarde vamos relembrar desse detalhe que vai ser importante.
Passando ele para o outro lado vamos ter
Arrumando isso
E passamos a ter um único módulo. Aqui temos a inequação modular menor ou igual, assim temos que achar a interseção das soluções das inequações abaixo
Passo 2
Vamos começar resolvendo a primeira
Passando o para esquerda
Temos que juntar essa parada toda
Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.
A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de e negativa antes.
A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes
Isso nos diz que essa função não tem raízes, o seu gráfico vai ficar
Podemos ver que ele sempre vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.
Queremos essa fração sendo negativa, então vamos pegar a parte menor que
Repara que a expressão tem menor ou igual, e aqui eu só coloquei menor. Isso porque o é raiz do denominador, e ele não pode ser , então precisamos excluir o
Passo 3
Vamos para a segunda inequação
Passando o para direita
Temos que juntar essa parada toda, e vamos escrever com o sinal ao contrario da desigualdade
Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.
A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de e negativa antes.
A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes
Isso nos diz que essa função tem duas raízes,
E
O seu gráfico vai ficar
Podemos ver que entre as raízes ele vai ser negativo, e na outra parte vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.
Queremos essa fração sendo positiva, então vamos pegar
Aqui de novo temos que excluir o , pelo mesmo motivo de antes, ele é raiz do denominador
Passo 4
Agora temos a solução de cada uma dessas inequações, a parada é achar a interseção dessas duas soluções
Assim, a nossa solução vai ser entre aqueles cara bonitinhos,
Resposta
Exercício Resolvido #9
UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 20
Resolva para e represente a solução na reta numérica
Passo 1
Usando a definição de módulo para a função dentro do primeiro módulo:
Para os demais:
E:
Juntamos os intervalos, obtemos três intervalos onde as funções mudam:
Vamos testar para cada um deles.
Passo 2
Para :
Assim, temos:
Ou seja:
Como encontramos que a solução deve ser dentro do intervalo , não teremos solução nesse caso.
Passo 3
Para :
Assim, temos:
Ou seja:
Que será maior que zero para e .
Como encontramos que a solução deve ser ou dentro do intervalo , não teremos solução nesse caso.
Passo 4
Para :
Assim, temos:
Que não é verdade para nenhum valor de , ou seja, não satisfaz a inequação. Portanto, não teremos solução para a nossa inequação . Representaremos o conjunto solução como o conjunto vazio:
Resposta
Exercício Resolvido #10
PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2015.1 - 1 a
Determine o valor de e de forma que o conjunto seja a solução da inequação .
Passo 1
Vamos resolver a inequação modular:
Passo 2
A solução dada diz que e . Dessa forma, os valores de e devem satisfazer às seguintes igualdades para que seja a solução da inequação: