Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto
Teoria
A regra de L’Hôpital
Vamos relembrar essa regra para facilitar o cálculo do limite de uma sequência, ok?
Primeiro, vamos lembrar em quais casos podemos utilizar:
1) Indeterminações do tipo
2) Indeterminações do tipo
Vamos ver a definição para relembrarmos melhor:
Vamos agora ver um exemplo:
Veja se a sequência abaixo converge ou diverge.
Quando n vai para infinito, vemos que há uma indeterminação, assim, vamos aplicar a regra de L’Hôpital:
Logo essa sequência converge.
Muito mais simples, né? Então, todas as vezes que aparecer essas indeterminações, devemos pensar em L’Hôpital, porque em geral, a questão sairá mais facilmente.
O Teorema do Confronto
Vamos aqui enunciar o Teorema do confronto. Ele será útil no cálculo de muitos limites de sequências.
Sendo , e três sequências tais que , então, se e convergirem e se , também converge e tem limite .
Em resumo, se uma sequência está “entre” duas outras sequências que possuem limite , então ela também possui o mesmo limite . Esse teorema também é conhecido como “teorema do sanduíche”, talvez esse nome seja mais fácil de lembrar.
Vamos ver um exemplo para fixar melhor esse conceito:
Exemplo
Veja se a sequência abaixo converge ou diverge. No caso de convergir, encontre o valor:
Vamos lá, o cosseno está sempre entre -1 e 1, não é mesmo?
Então podemos escrever:
Ou seja, nossa sequência está entre outras duas. Vamos agora mostrar que essas duas sequências convergem para o mesmo valor. Aplicando o limite:
Assim:
Pelo Teorema do confronto, temos que a sequência converge para 0!
Sempre que aparecer cossenos e senos, pode ser interessante usar essa abordagem. Agora vamos praticar!
O Teorema do Confronto
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria.
Analise a convergência da sequência, no caso de convergir, calcule seu limite.
Passo 1
Definindo
Temos:
Passo 2
Como tanto o numerador como o denominador de tendem para infinito com , vamos calcular o limite aplicando a Regra de L’Hospital:
Resposta
Portanto, e a sequência converge.
Exercício Resolvido #2
USP - Cálculo 4 - P1 2013 - 1ai
Calcule, justificando, o limite da seguinte sequência:
Passo 1
Vamos primeiro escrever isso de uma forma mais bacana:
Humm, então o limite é:
Passo 2
Então, aquela famosa propriedade de funções inversas, vamos usar isso pra exponencial e logaritmo neperiano:
Assim fica:
E a gente pode tirar o de dentro do limite, fica assim, por conta de uma propriedade de limites
Passo 3
Então precisamos resolver o seguinte limite:
Da pra ver a inderteminação de , logo, por L’Hospital:
Assim, voltando para o lá do passo anterior:
Resposta
Exercício Resolvido #3
USP - Cálculo 4 - P1 2010 - 1a
Determine se a sequência converge, e em caso afirmativo, calcule o limite:
Passo 1
Beleza, pra uma sequência convergir, temos que:
Onde é um número real, então é isso que precisamos verificar.
Passo 2
Então fica assim:
Então aqui vai um paranauê, nós sabemos que logaritmo neperiano e exponencial são funções inversas uma da outra, então essa propriedade é válida:
“Pra que isso serve?” Vamos mostrar agora! Faça isso para :
“ E isso facilitou?!” Sim sim, olha essa propriedade do logaritmo:
Vamos usar isso agora:
Galerinha, a gente pode tirar o de dentro do limite, fica assim, por conta de uma propriedade de limites
Colocamos dessa forma porque agora virou uma indeterminação, , dessa forma podemos aplicar o famoso L’Hospital!
Passo 3
Vamos só resolver o limite, mas não esqueça da exponencial! Deriva ae galera, lembrando que no numerador vão ter duas regras da cadeia. Uma para com o e outra para derivar o :
Então ficou fácil galera!
Então fica, voltando para o lá do passo anterior:
Logo o limite existe! E é
Resposta
Exercício Resolvido #4
UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2011.2 - 1a
Calcule o limite da sequência:
Passo 1
Legal, temos uma sequência numérica de termo geral:
Podemos observar que o cosseno (no numerador) é limitado, pois só varia entre e .
Passo 2
Assim, vamos ter que:
Então, dividindo todo mundo por :
Passo 3
Assim, aplicando limite nas expressões temos que:
Portanto, pelo teorema do Confronto:
Resposta
.
Exercício Resolvido #5
UFF - Equações - Lista 1 - 1ª
Determine se a seguinte sequência possui limite
Passo 1
Vamos calcular o limite desse termo geral quando
Como temos um cosseno ali, isso nos dá indícios que temos que usar o teorema do sanduiche.
Vamos fazer os limites dos extremos
Passo 2
A lógica é idêntica ao outro limite:
Logo:
Pelo teorema do sanduíche esse limite vai ser e essa sequência converge.
Resposta
O limite dela é .
Exercício Resolvido #6
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 646, exemplo 9
Discuta a convergência da sequência , onde .
Passo 1
Em geral, quando se tem fatorial na expressão geral de uma sequência, é uma boa compará-la com outras sequências. Vamos tentar, então, aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos reescrever a expressão do .
Já que (pois é o maior termo de ), então:
Temos, assim:
Certo, agora precisamos de um limite inferior. Já que assim como devem ser positivos, podemos afirmar que:
Passo 2
O limite inferior já sabemos que é zero, agora precisamos calcular o superior.
Como ambos os limites são zero, sabemos que .
Resposta
e a sequência converge.