Teoria

Fala ai! Seja muito bem vindo ao RespondeAí! Hoje a gente vai conversar sobre Sequência Monótona e Teorema da Sequência Monótona!

Pra começo de conversa, o que é uma sequência monótona?

Se uma sequência é sempre crescente ou decrescente ela é chamada monótona!

Beleza, então vamos ver como identificar sequências crescentes e decrescentes!

Sequências crescentes e decrescentes

Vamos dar uma olhada nesse exemplo:

Repara que o termo seguinte da sequência é sempre maior que o anterior. Então essa é uma sequência crescente. Uma sequência é dita crescente quando:

$$\text{Para todo } n \in \mathbb{N}~ a_n

Agora, vamos para o nosso segundo exemplo:

Agora acontece o contrário! O termo seguinte da sequência é sempre menor que o anterior. Então essa é uma sequência decrescente. E ela é dita decrescente quando:

$$\text{Para todo } n \in \mathbb{N}~ a_{n+1}

Exatamente como falamos lá em cima! Se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente, ela é chamada de monótona.

Sequência Limitada

Beleza, agora o que é uma sequência limitada?

Bem, primeiro vamos ver o que é limitada inferiormente.

Vou usar um exemplo que a gente já conhece:

Nessa sequência nós estamos pegando números naturais e partindo do . Então:

Aqui, temos um número, no caso o , que é menor que todos os termos da sequência, é isso que significa que ela é limitada inferiormente. Na prática significa que existe um número que é menor que geral da sequência, beleza?

Agora vamos ver o que é limitada superiormente. E vamos usar outro exemplo que a gente já conhece:

Repara que o valores da sequência sempre vão diminuindo e o maior valor dessa sequência é . Agora que achamos um número maior que todos da sequência, sabemos que ela é limitada superiormente.

Sacou?

Vamos olhar agora a sequência , lembrando que:

Essa é uma sequência limitada. Sacou? A gente precisa achar um número que seja maior que todos os outros da sequência e outro que seja menor que todos da sequência.

Pronto, agora que já entendemos alguns conceitos, vamos para o teorema da sequência monótona!

Teorema da Sequência Monótona

Beleza, vamos direto e reto, o Teorema da sequência monótona é o seguinte:

Dada uma Sequência Monótona, ela será convergente apenas se for limitada.

E para que ele serve? Às vezes o limite do termo geral da sequência é muito difícil de calcular ou a questão simplesmente não nos deu o termo geral, imagina que temos:

Repara que ele não disse absolutamente nada dessa sequência né? Tentar escrever o termo geral aqui vai dar um trabalho monstruoso. Como achamos se essa sequência é convergente ou não?

Na prática, temos que ver primeiro se a sequência é monótona. Se ela for podemos usar o teorema. Aí é só ver se ela é limitada ou não. Não precisamos saber como é o termo geral.
Interessante, não? Então muitas vezes vamos utilizar somente o fato de que a sequência é monótona e limitada para chegarmos à conclusão que ela é convergente.

Não sabemos nada da sequência, então vamos ver se ela é monótona. Nessas horas temos duas formas de fazer, ou manipular enlouquecidamente para ver se é crescente ou decrescente. Isso, normalmente, não é muito fácil.
A melhor maneira é achar:

Depois vemos se ela é maior ou menor que . Se ela for maior que , temos uma sequência crescente. Se for menor que , temos uma sequência decrescente. Sacou?
Vamos calcular isso aqui:

Repara que como temos:

Que é menor que , então temos que a sequência é decrescente.
Vamos ver agora se ela é limitada. Primeiro repara que se ela é decrescente, todo mundo é menor que . Então se acharmos um número que é menor que todo mundo da sequência, então ela será também limitada inferiormente.
Como , todo termo vai ser positivo. Se dividirmos por , independente do esse cara vai ser positivo, já que . Isso nos diz que:

$$0

Opa, essa sequência é limitada.
Então pelo Teorema da Sequência Monótona, como ela é limitada e monótona, ela é convergente.

Exercício:

Mostre que a sequência é monótona e limitada, determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior. Ela é convergente ou divergente? Justifique!

Confira a resposta no nosso vídeo abaixo: 👇

Agora vamos praticar com mais exercícios!

Sequências crescentes e decrescentes

Sequência Limitada

Teorema da Sequência Monótona

Exercício:

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