Sequência Monótona: Teorema
Produzido por Carolina SabaTeoria
Fala ai! Seja muito bem vindo ao RespondeAí! Hoje a gente vai conversar sobre Sequência Monótona e Teorema da Sequência Monótona!
Pra começo de conversa, o que é uma sequência monótona?
Se uma sequência é sempre crescente ou decrescente ela é chamada monótona!
Beleza, então vamos ver como identificar sequências crescentes e decrescentes!
Sequências crescentes e decrescentes
Vamos dar uma olhada nesse exemplo:
Repara que o termo seguinte da sequência é sempre maior que o anterior. Então essa é uma sequência crescente. Uma sequência é dita crescente quando:
Agora, vamos para o nosso segundo exemplo:
Agora acontece o contrário! O termo seguinte da sequência é sempre menor que o anterior. Então essa é uma sequência decrescente. E ela é dita decrescente quando:
Exatamente como falamos lá em cima! Se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente, ela é chamada de monótona.
Sequência Limitada
Beleza, agora o que é uma sequência limitada?
Bem, primeiro vamos ver o que é limitada inferiormente.
Vou usar um exemplo que a gente já conhece:
Nessa sequência nós estamos pegando números naturais e partindo do
Aqui, temos um número, no caso o
Agora vamos ver o que é limitada superiormente. E vamos usar outro exemplo que a gente já conhece:
Repara que o valores da sequência sempre vão diminuindo e o maior valor dessa sequência é
Sacou?
Vamos olhar agora a sequência
Essa é uma sequência limitada. Sacou? A gente precisa achar um número que seja maior que todos os outros da sequência e outro que seja menor que todos da sequência.
Pronto, agora que já entendemos alguns conceitos, vamos para o teorema da sequência monótona!
Teorema da Sequência Monótona
Beleza, vamos direto e reto, o Teorema da sequência monótona é o seguinte:
Dada uma Sequência Monótona, ela será convergente apenas se for limitada.
E para que ele serve? Às vezes o limite do termo geral da sequência é muito difícil de calcular ou a questão simplesmente não nos deu o termo geral, imagina que temos:
Repara que ele não disse absolutamente nada dessa sequência né? Tentar escrever o termo geral aqui vai dar um trabalho monstruoso. Como achamos se essa sequência é convergente ou não?
Na prática, temos que ver primeiro se a sequência é monótona. Se ela for podemos usar o teorema. Aí é só ver se ela é limitada ou não. Não precisamos saber como é o termo geral.
Interessante, não? Então muitas vezes vamos utilizar somente o fato de que a sequência é monótona e limitada para chegarmos à conclusão que ela é convergente.
Não sabemos nada da sequência, então vamos ver se ela é monótona. Nessas horas temos duas formas de fazer, ou manipular enlouquecidamente para ver se é crescente ou decrescente. Isso, normalmente, não é muito fácil.
A melhor maneira é achar:
Depois vemos se ela é maior ou menor que
Vamos calcular isso aqui:
Repara que como
Que é menor que
Vamos ver agora se ela é limitada. Primeiro repara que se ela é decrescente, todo mundo é menor que
Como
Opa, essa sequência é limitada.
Então pelo Teorema da Sequência Monótona, como ela é limitada e monótona, ela é convergente.
Exercício:
Mostre que a sequência
Confira a resposta no nosso vídeo abaixo: 👇
Agora vamos praticar com mais exercícios!