Teste da Divergência
Produzido por Carolina SabaTeoria
Fala! Vamos começar com um exemplo, tá bem? Lembra que uma série converge se a soma dos termos dela tender a um número e diverge se a soma dos termos dela explodir para infinito. Digamos que temos essa série aqui
Ela diverge ou converge? Podemos pensar em abrir os termos dela e vê se há algum padrão, né? Olha
Cara, não tem padrão nenhum à princípio, né? E as contas seguintes só ficam piores. Os nossos termos até são menores que , mas isso não garante que a soma deles não exploda para o infinito. Será que nossa pergunta vai ficar sem resposta? NÃO VAI!
O que vamos começar ver a partir de agora é que há formas mais práticas de analisar a convergência e divergência das séries. Não vamos precisar ficar abrindo os termos delas!
Chamamos essas formas de testes, que vão ser aplicados nas séries e vão nos dizer se elas convergem ou divergem. O primeiro teste que a gente vai ver é o Teste da Divergência.
Bora!
Teste da Divergência ou Critério do Termo Geral
Vamos voltar ao nosso exemplo
Já vimos que não dá para saber se essa série diverge ou converge só abrindo os termos dela, então a gente vai aplicar nela o nosso primeiro teste, o teste da divergência.
E como esse cara funciona?
Basicamente, vamos ter que calcular o seguinte limite
Vamos calcular então! Nosso termo geral é
Fazendo o limite, temos:
Deu um número diferente de zero. E o que isso quer dizer? Cara, o teste da divergência diz que toda série convergente tem
Como para a nossa série, esse limite não deu zero, a gente pode afirmar que nossa série não é convergente, ou seja, nossa série é divergente.
De forma geral, toda vez que a gente calcula esse limite e dá um número diferente de zero, a gente já pode dizer que nossa série é divergente.
Bizu: é sempre bom começar a analisar as séries por esse teste. Além de ser simples e rápido, ele pode te poupar muito trabalho!
E se o limite der zero?
E se na nossa continha, o limite der igual a zero? Vamos ver isso num exemplo. Vamos pensar na série harmônica
Precisamos lembrar que essa série é divergente. Já sabendo dessa informação, vamos aplicar o teste da divergência nela para ver o que podemos tirar dele.
O termo geral dessa série é
Aí calculamos
Vemos que
Olha só, deu zero. Mas essa série não é convergente. Será que o teste está errado? Cara, não está não. Ele diz que toda série convergente tem esse limite igual a zero.
Maaaas, ele NÃO diz que toda série que tem limite igual a zero é convergente. Esse exemplo nos mostra que mesmo que uma série tenha o limite igual a zero, ela ainda pode ser divergente.
Então, como usar esse teste? Vamos usar esse teorema da seguinte forma: calculamos o limite e se ele der diferente de zero podemos afirmar que a série diverge. Caso o limite dê zero, nada podemos afirmar (a série pode ou não convergir).
Agora vamos aplicar esse cara nos exercícios, para fixar bem essa ideia! Bora! 😊