Teste da Divergência
Teoria
Fala! Vamos começar com um exemplo, tá bem? Lembra que uma série converge se a soma dos termos dela tender a um número e diverge se a soma dos termos dela explodir para infinito. Digamos que temos essa série aqui
Ela diverge ou converge? Podemos pensar em abrir os termos dela e vê se há algum padrão, né? Olha
Cara, não tem padrão nenhum à princípio, né? E as contas seguintes só ficam piores. Os nossos termos até são menores que , mas isso não garante que a soma deles não exploda para o infinito. Será que nossa pergunta vai ficar sem resposta? NÃO VAI!
O que vamos começar ver a partir de agora é que há formas mais práticas de analisar a convergência e divergência das séries. Não vamos precisar ficar abrindo os termos delas!
Chamamos essas formas de testes, que vão ser aplicados nas séries e vão nos dizer se elas convergem ou divergem. O primeiro teste que a gente vai ver é o Teste da Divergência.
Bora!
Teste da Divergência ou Critério do Termo Geral
Vamos voltar ao nosso exemplo
Já vimos que não dá para saber se essa série diverge ou converge só abrindo os termos dela, então a gente vai aplicar nela o nosso primeiro teste, o teste da divergência.
E como esse cara funciona?
Basicamente, vamos ter que calcular o seguinte limite
Vamos calcular então! Nosso termo geral é
Fazendo o limite, temos:
Deu um número diferente de zero. E o que isso quer dizer? Cara, o teste da divergência diz que toda série convergente tem
Como para a nossa série, esse limite não deu zero, a gente pode afirmar que nossa série não é convergente, ou seja, nossa série é divergente.
De forma geral, toda vez que a gente calcula esse limite e dá um número diferente de zero, a gente já pode dizer que nossa série é divergente.
Bizu: é sempre bom começar a analisar as séries por esse teste. Além de ser simples e rápido, ele pode te poupar muito trabalho!
E se o limite der zero?
E se na nossa continha, o limite der igual a zero? Vamos ver isso num exemplo. Vamos pensar na série harmônica
Precisamos lembrar que essa série é divergente. Já sabendo dessa informação, vamos aplicar o teste da divergência nela para ver o que podemos tirar dele.
O termo geral dessa série é
Aí calculamos
Vemos que
Olha só, deu zero. Mas essa série não é convergente. Será que o teste está errado? Cara, não está não. Ele diz que toda série convergente tem esse limite igual a zero.
Maaaas, ele NÃO diz que toda série que tem limite igual a zero é convergente. Esse exemplo nos mostra que mesmo que uma série tenha o limite igual a zero, ela ainda pode ser divergente.
Então, como usar esse teste? Vamos usar esse teorema da seguinte forma: calculamos o limite e se ele der diferente de zero podemos afirmar que a série diverge. Caso o limite dê zero, nada podemos afirmar (a série pode ou não convergir).
Agora vamos aplicar esse cara nos exercícios, para fixar bem essa ideia! Bora! 😊
Teste da Divergência ou Critério do Termo Geral
E se o limite der zero?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 658, questão 23
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule a sua soma.
Passo 1
Repare nos índices de . No numerador temos “elevado a ”, assim como no denominador. Isso nos faz pensar que, mesmo tendo uma razão menor que , esse termo geral não deve tender para zero.
Nesse caso, tentaremos então o Teste da Divergência. Calculando o limite de , temos:
Como previmos o termo geral não tende para zero, logo, a série diverge.
Resposta
A série diverge.
Exercício Resolvido #2
PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 2b
Decida sobre a convergência da série abaixo:
Passo 1
Sabemos que se , então a série diverge. Portanto, pra estudarmos a convergência de , vamos calcular o .
Passo 2
Pela regra de L’Hôpital, temos que:
E então, concluímos que a série diverge!
Resposta
A série diverge.
Exercício Resolvido #3
UFF - Equações - Lista 2 - 1f
Determine se a série converge ou diverge no seguinte caso
Passo 1
Pelo teste da divergência temos que se o , a série diverge. Caso esse limite de zero, não podemos afirmar nada.
Então vamos começar mexendo um pouco no termo geral. Pensa no termo Como a base uma função exponencial. Então podemos calcular essa divisão, repetindo a base e subtraindo os expoentes. Fica assim,
Lembra que é a multiplicação de números, deste modo a função cresce infinitamente, ou seja,
E pelo teste da divergência essa série diverge.
Resposta
Diverge
Exercício Resolvido #4
UFRJ - Cálculo 4 - P1 2013.2 - 1ª
Resolva os seguintes itens sobre séries:
Decida se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Bom, será que essa série converge? Antes de tudo: será que esse termo geral tende para zero? Parece que não, olha só:
Temos o numerador tendendo a infinito e o denominador não possui limite, oscila com valores entre e , portanto:
Com o limite do termo geral não é zero, pelo Teste da divergência, essa série diverge.
Resposta
A série diverge.