Teoria

Fala! Vamos começar com um exemplo, tá bem? Lembra que uma série converge se a soma dos termos dela tender a um número e diverge se a soma dos termos dela explodir para infinito. Digamos que temos essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4

Ela diverge ou converge? Podemos pensar em abrir os termos dela e vê se há algum padrão, né? Olha

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4 = 1 2 - 1 5 × 1 2 + 4 + 2 2 - 1 5 × 2 2 + 4 + 3 2 - 1 5 × 3 2 + 4 + 4 2 - 1 5 × 4 2 + 4 …

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4 = 0 + 1 8 + 8 49 + 15 84 + …

Cara, não tem padrão nenhum à princípio, né? E as contas seguintes só ficam piores. Os nossos termos até são menores que 1 , mas isso não garante que a soma deles não exploda para o infinito. Será que nossa pergunta vai ficar sem resposta? NÃO VAI!

O que vamos começar ver a partir de agora é que há formas mais práticas de analisar a convergência e divergência das séries. Não vamos precisar ficar abrindo os termos delas!

Chamamos essas formas de testes, que vão ser aplicados nas séries e vão nos dizer se elas convergem ou divergem. O primeiro teste que a gente vai ver é o Teste da Divergência.

Bora!

Teste da Divergência ou Critério do Termo Geral

Vamos voltar ao nosso exemplo

∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 5 n 2 + 4

Já vimos que não dá para saber se essa série diverge ou converge só abrindo os termos dela, então a gente vai aplicar nela o nosso primeiro teste, o teste da divergência.

E como esse cara funciona?

Basicamente, vamos ter que calcular o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n

Vamos calcular então! Nosso termo geral é

a n =   n 2 - 1 5 n 2 + 4

Fazendo o limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 5 n 2 + 4 =   lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 2 5 + 4 n 2 = 1 5

Deu um número diferente de zero. E o que isso quer dizer? Cara, o teste da divergência diz que toda série convergente tem

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Como para a nossa série, esse limite não deu zero, a gente pode afirmar que nossa série não é convergente, ou seja, nossa série é divergente.

De forma geral, toda vez que a gente calcula esse limite e dá um número diferente de zero, a gente já pode dizer que nossa série é divergente.

Bizu: é sempre bom começar a analisar as séries por esse teste. Além de ser simples e rápido, ele pode te poupar muito trabalho!

E se o limite der zero?

E se na nossa continha, o limite der igual a zero? Vamos ver isso num exemplo. Vamos pensar na série harmônica

∑ n = 1 ∞ 1 n

Precisamos lembrar que essa série é divergente. Já sabendo dessa informação, vamos aplicar o teste da divergência nela para ver o que podemos tirar dele.

O termo geral dessa série é

a n = 1 n

Aí calculamos

lim n → ∞ ⁡ a n

Vemos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Olha só, deu zero. Mas essa série não é convergente. Será que o teste está errado? Cara, não está não. Ele diz que toda série convergente tem esse limite igual a zero.

Maaaas, ele NÃO diz que toda série que tem limite igual a zero é convergente. Esse exemplo nos mostra que mesmo que uma série tenha o limite igual a zero, ela ainda pode ser divergente.

Então, como usar esse teste? Vamos usar esse teorema da seguinte forma: calculamos o limite e se ele der diferente de zero podemos afirmar que a série diverge. Caso o limite dê zero, nada podemos afirmar (a série pode ou não convergir).

Agora vamos aplicar esse cara nos exercícios, para fixar bem essa ideia! Bora! 😊

Teste da Divergência ou Critério do Termo Geral

E se o limite der zero?

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