P-Série
Teoria
Vamos agora falar da P-série.
Mas antes, vamos ver porque ela é chamada assim. Essa série é apresentada abaixo:
Tá vendo aquele índice ? Então é por ele que a série é chamada de P-série. Uma coisa muito importante é lembrar que ela precisa ter essa carinha de elevado a alguém no DENOMINADOR.
Uma p-série conhecida é a serie harmônica:
Vamos utilizar bastante essa série para, principalmente compararmos com outras nos testes.
Vamos agora aprender para quais valores de essa série converge e para quais valores diverge.
Critério de convergência
A p-séria convirgirá ou não dependendo do valor de . Se liga no bizu! ;)
Pra mostrar isso tem que usar o teste da integral, mas isso fica pra outro papo!
Partiu exercício!
Critério de convergência
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Repara que todas essas séries são .
Como vimos na teoria, uma é uma série com o termo geral sendo
O que vai dizer se essa série converge ou diverge, é aquele
Direto assim mesmo. Bora olhar cada um
Passo 2
Agora com o
Aqui o termo geral vai ser
Aqui, o vai ser , beleza? Como isso é maior que ele converge.
Passo 3
Agora com o
Aqui o termo geral vai ser
Aqui, o vai ser , beleza? Como isso é menor ou igual a ele diverge.
Passo 4
Agora com o
Aqui o termo geral vai ser
Aqui, o vai ser , beleza? Como isso é menor ou igual a ele diverge.
Depois dessas , repara que realmente pode ser qualquer número real. Apareceu negativo, positivo, decimal. Não importa o número, o que importa é saber se ele é maior que ou não.
Passo 5
Agora com o
Aqui o termo geral vai ser
Aqui, o vai ser , beleza? Lembra que o que importa é comparar com ? Normalmente aproximamos por . Ele estar por perto desse valor, então é de boa ver que ele é maior que . Assim ele converge, de boa assim mesmo.
Passo 6
Começando com o
Aqui o termo geral vai ser
Aqui, o vai ser , beleza? Como isso é maior que ele converge. Pera, pera, pera, pera...
Tem alguma treta ai, vamos olhar o termo geral da série
Olha que o está em uma fração, e no denominador. E a nossa série ali, tem o só. Para comparar bonitinho, temos que escrever isso como sobre alguma potência de .
Vamos usar um macete aqui
Sempre que rolar uma parada dessa, basta jogar a potência que temos no denominador e mudar o sinal do expoente.
Agora sim, o vai ser , e como isso é menor que ele diverge.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine se a série abaixo converge
Passo 1
Vamos olhar para o termo geral dessa série
Cara que bagulho muito doido. Mas repara que temos como por em evidência na soma do denominador
Opa, nunca vai ser , então podemos simplesmente cortar esse safado.
OBAAAA! É uma p-série, e com . É maior que então converge. Acabou
Só isso mesmo, então sempre que surgir uma série muito louca das ideias, primeiro vamos tentar arrumar o que dá para arrumar e depois pensamos na convergência.
Resposta
Converge
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Determine se a série abaixo converge
Passo 1
O termo geral dessa série é
Temos uma soma de coisas muito loucas, vamos dar uma arrumada nisso pra começo de conversa, dexando aquele como fração, porque ele parece uma -série. E aquele e estão querendo muito ser série geométrica
Temos duas series muito loucas. Vamos olhar cada parte dela
Passo 2
Primeiro
Isso é uma série geométrica, com , como é menor que , isso nos diz que ela converge.
Passo 3
Agora
Isso é uma -série, com
Cara muuuuito louco, mas só precisamos saber se ele é maior que ou não. Repara que ele é muuuito maior, então essa série converge.
Como a nossa série original é a soma de séries que convergem, ela converge.
Resposta
Converge