Teoria

Pessoal, estamos nos preparando para o grande momento desse assunto que é a série de Fourier. Antes de chegar lá veremos alguns conceitos introdutórios bem necessários. O primeiro é como realizar a extensão de uma função.

Mas antes precisamos revisar 3 conceitos: funções periódicas, funções pares e funções impares.

Funções periódicas

Olha pra a função f x = s e n x :

Repara que a função se repete a cada intervalo de tamanho 2 π de x . Temos aí uma função periódica, uma função que se repete, seguindo sempre o mesmo padrão.

Podemos definir o período T de uma função como o menor tamanho de um intervalo em x para o qual uma função se repete. Assim, neste exemplo, ele vale 2 π . E dizemos que para essa função:

f x = f x + 2 π

Ou seja, ela tem o mesmo valor para dois pontos separados por 2 π em x . Se a função tem período T , então:

f x = f ( x + T )

Funções pares

Cara, já reparou que algumas funções são simétricas em relação ao eixo y ? Tipo f x = x 2 ?

Tem como a gente ver se uma função é simétrica em relação a y sem fazer o gráfico?

Olha para f x = x 2 , vê que para x = - 1 , ela vale 1 , e para x = 1 , ela vale 1 também. Temos

f - 1 = f 1 = 1

f - 1 = f 1

Vale também que

f - 2 = f 2

Ou seja, isso vale para qualquer x

f - x = f x

E boa notícia: Isso vale para todas as funções simétricas em relação a y !

E essas funções são tão importantes que as chamamos de funções pares. Então, falou de função par, você vai lembrar que para ela vale que

f x = f ( - x )

Funções ímpares

Temos também as primas das funções pares: as funções ímpares. Por exemplo, a f x = x 3 :

Por que elas são primas? Porque para desenhar uma função ímpar, como a nossa, a gente pode desenhar só o lado direito, espelhar esse lado em relação a y (parte verde), e depois espelhar o resultado em relação a x (parte azul abaixo do eixo x ), assim:

E aí a nossa curva fica sendo só a parte azul mesmo. Mesma pergunta do item anterior: A gente consegue descobrir se uma função é ímpar sem o gráfico dela?

Cara, repara que para f x = x 3 , temos que f 1 = 1 e f - 1 = - 1 , ou seja, a gente pode escrever:

f 1 = - f - 1  

E isso, de novo, vale para qualquer x , e para qualquer função que a gente consiga esboçar da forma que mostramos anteriormente:

f x = - f ( - x )

Temos então que essa é a definição de funções ímpares.

Extensão de Funções

Cara, já temos a base necessária. Agora vamos ver o que é uma extensão de uma função. Imagina que temos f x = 1 - x , 0 < x ≤ 1 . O gráfico dela é assim:

Se a gente quisesse criar uma função par a partir dessa, o que a gente faria? A gente pode espelhar ela em relação a y , né? Fica assim:

E se quisesse criar uma função ímpar? A gente só precisaria espelhar essa parte nova em relação a x :

Acabamos de criar extensões para a função f x . A ideia de extensão é a gente pegar uma função e criar a partir dela uma função par, que vamos chamar de extensão par, ou uma função ímpar, que vai ser uma extensão ímpar de f x .

Agora, eu te pergunto: Como a gente vai achar as expressões dessas extensões? Vem descobrir!

Extensão Par

Vamos usar nosso exemplo

f x = 1 - x ,     0 < x ≤ 1

A gente já tem o gráfico, mas queremos a expressão da extensão par dessa função. Ela vai ser uma função definida por partes, certo?

O primeiro intervalo é 0 < x ≤ 1 , e nele a definição é a que já temos mesmo, isso não muda. O outro intervalo precisa ser simétrico a esse em relação a y . Então vai ser - 1 ≤ x < 0 , ok?

Falta a expressão da função para esse intervalo novo. Como a gente faz? Cara, g é uma função par, certo? Então vale que

g x = g - x

Temos que g x = 1 - x , né? Então podemos substituir x = - x nessa expressão, e achar outra expressão para g x :

g x = g - x

g x = 1 - - x = 1 + x

Essa é a expressão que faltava. Nossa função fica

g x = 1 + x ,     - 1 ≤ x < 0 1 - x ,     0 < x ≤ 1

Essa é a extensão par de f x . Podemos também fazer a extensão par periódica dessa função. É só adicionar à definição da função a simbologia de função periódica.

g x + T = g x

Nossa função está dentro de um intervalo de tamanho 2, certo? Para fazer uma função periódica, é só repetir os valores de g x a cada período de tamanho T = 2 .

g x + 2 = g ( x )

O gráfico dessa extensão está mostrado abaixo

De forma geral, para fazer uma extensão par periódica de uma função de intervalo 0 ≤ x ≤ L , fazemos

g x = f ( x ) ,     0 ≤ x ≤ L f ( - x ) ,     - L < x < 0

g x = g ( x + 2 L )

Extensão Ímpar

Agora para fazer a expressão da extensão ímpar da função f x = 1 - x , 0 < x ≤ 1 , vamos criar outra expressão, também para o intervalo simétrico - 1 ≤ x < 0 .

Vai ser o mesmo esquema da anterior, vamos usar a definição de função ímpar

g x = - g - x  

Temos que g x = 1 - x , então:

g - x = 1 - - x = 1 + x

E

g x = - g - x = - 1 + x = - 1 - x

Então:

g x = - 1 - x ,     - 1 ≤ x < 0 1 - x ,     0 < x ≤ 1

Agora, precisamos dizer que a função tem período T = 2 se a gente quiser a extensão ímpar periódica dessa função, ou seja, escrevemos

g x = g ( x + 2 )

Vou colocar o gráfico aqui para você dar uma olhada:

De modo geral, a extensão ímpar periódica de uma função de intervalo 0 ≤ x ≤ L é:

g x = - f ( - x ) ,     - L ≤ x ≤ 0 f ( x ) ,     0 ≤ x ≤ L

g x = g x + 2 L

Agora partiu exercícios! 😊

Funções ímpares

Extensão de Funções

Extensão Par

Extensão Ímpar

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