Derivação e Integração de Séries de Potência
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução
Olá, galerinha! Lembra que uma das utilidades da séries de potência é representar funções? Exatamente, podemos escrever funções como séries de potências comparando com a série geométrica!
Vamos com um exemplo. Lembra que podemos descrever uma série geométrica com a seguinte soma,
Então, quando temos a seguinte função,
A gente pode interpretar essa função como série de potência. Aí ela fica assim:
Esse caso, a gente consegue perceber a semelhança e fazer direto, mas nem sempre será assim. Então se prepara que um desafio vai ser lançado.
Escreva a função abaixo em séries de potencias
Não é uma comparação óbvia de ser encontrada! E é sobre isso que vamos falar nesse tópico.
Derivação e integração de séries
Quando a função não tiver uma cara parecida com a de uma serie geométrica, o que podemos fazer é manipular as funções (derivado e integrando) de forma que ela fique mais próxima da série geométrica.
Então vamos resolver o desafio seguindo um passo a passo! Olha a função aí de novo,
Passo 1: Essa função não tem a mínima semelhança com a soma da série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar .
Essa função derivada se parece muito com , que a gente viu lá no ínicio do tópico, não é?
Passo 2: Vamos, então, escrever a função derivada como série de potências. Calma, você já vai entender por que.
Como a razão é , temos:
Passo 3: Mas o que queremos é a representação de , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:
Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa . Veja:
OBS: A gente pode manipular dessa forma (derivando e integrando) se a nossa série de potência tiver um raio de convergência .
Essa estratégia de derivar a função para depois integrar será muito útil para representar funções por séries. Então vamos praticar essas transformações com os exercícios!