Derivação e Integração de Séries de Potência
Teoria
Introdução
Olá, galerinha! Lembra que uma das utilidades da séries de potência é representar funções? Exatamente, podemos escrever funções como séries de potências comparando com a série geométrica!
Vamos com um exemplo. Lembra que podemos descrever uma série geométrica com a seguinte soma,
Então, quando temos a seguinte função,
A gente pode interpretar essa função como série de potência. Aí ela fica assim:
Esse caso, a gente consegue perceber a semelhança e fazer direto, mas nem sempre será assim. Então se prepara que um desafio vai ser lançado.
Escreva a função abaixo em séries de potencias
Não é uma comparação óbvia de ser encontrada! E é sobre isso que vamos falar nesse tópico.
Derivação e integração de séries
Quando a função não tiver uma cara parecida com a de uma serie geométrica, o que podemos fazer é manipular as funções (derivado e integrando) de forma que ela fique mais próxima da série geométrica.
Então vamos resolver o desafio seguindo um passo a passo! Olha a função aí de novo,
Passo 1: Essa função não tem a mínima semelhança com a soma da série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar .
Essa função derivada se parece muito com , que a gente viu lá no ínicio do tópico, não é?
Passo 2: Vamos, então, escrever a função derivada como série de potências. Calma, você já vai entender por que.
Como a razão é , temos:
Passo 3: Mas o que queremos é a representação de , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:
Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa . Veja:
OBS: A gente pode manipular dessa forma (derivando e integrando) se a nossa série de potência tiver um raio de convergência .
Essa estratégia de derivar a função para depois integrar será muito útil para representar funções por séries. Então vamos praticar essas transformações com os exercícios!
Derivação e integração de séries
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ - Cálculo 4 - P1 2012.2 - 2
Responda as seguintes questões:
- Sabendo que a função é analítica para , mostre que:
- Seja a soma da série . Determine a função em termos de funções elementares. Justifique.
Passo 1
Letra a)
Bom, precisamos escrever como série de potências, para provar o que o problema pede.
A função não tem a mínima semelhança com a soma da série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar .
Essa função derivada se parece muito com , não é? E nós sabemos que:
Vamos então usar essa informação.
Passo 2
Vamos escrever a função derivada como uma série geométrica, para depois achar a representação de por integração da série. Temos
Como a razão é , temos:
Certo?
Passo 3
Mas o que queremos é a representação de , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:
Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa . Veja:
Passo 4
Letra b)
Nesse item precisamos de um pouco de atenção. Traduzindo o enunciado: o problema quer saber qual função que tem essa representação em série
Mas que diabos isso tem a ver com a letra a) da questão? Tudo! Se você reparar, a derivada dessa série é exatamente:
Eles até escreveram os denominadores fatorados, para a gente ver com mais clareza. Esse é o segredo da questão. Temos então:
Passo 5
Como queremos encontrar , vamos integrar essa equação dos 2 lados:
Foi até ai? Colocamos a integral começando em zero para facilitar nossa vida e o intervalo final genérico. Temos então:
Como (a soma de zero termos é zero):
Agora vamos integrar por partes. Fazendo:
Isso nos dá
Fazendo , , temos:
Resposta
b)
Exercício Resolvido #2
UNICAMP - Cálculo 3 - P2 2014.1 - 1
Encontre uma representação em série de potências em torno de da função
Sugestão:
Passo 1
Vamos lá, segue comigo! A gente quer uma série de potências pra essa função aí:
Mas vamos começar pela dica que o enunciado dá. Como calculo essa derivada? Oras, com a Regra da Cadeia...
Isso quer dizer que nossa função nada mais é que
Certo?
Passo 2
Beleza. Agora vamos avaliar a série de potências da função
Você já deve ter notado que ela tem a cara da Série Geométrica:
Desde que .
Então beleza, substitui e tá tudo certo!
Desde que , isto é, .
Passo 3
Ok, agora vamos derivar essa função na forma de série...
Passo 4
Maravilha, só falta aquele perdido lá no início, lembra?
Como sai dessa? Corta o com e vira :
Passo 5
Lá em cima vimos que o raio de convergência dessa série era . Então, vamos testar as extremidades do intervalo .
- :
Finalmente, concluímos que o intervalo de convergência é .
Resposta
Exercício Resolvido #3
USP - Cálculo 4 - P2 2013 - 1ª
Obtenha um expressão da série abaixo e o respectivo raio de convergência:
Passo 1
Colocando em evidência:
Então chamamos de
Passo 2
Derivando :
Olhando para esse cara dentro do parênteses, vemos que é uma série geométrica e será dada por caso
Assim fica:
Então vamos analisar através disso:
Fazendo a substituição simples:
Assim fica:
Supondo que , então podemos tirar o módulo
Assim finalmente:
Passo 3
Como sabemos, precisamos testar os limites da série, ou seja, quando e
Para a série fica:
E para :
Ambos são séries harmônicas de grau 1, logo divergem! Logo a resposta é
Resposta
Exercício Resolvido #4
USP - Cálculo 4 - P2 2012 - 1
a)Determine a expansão em série de potências em torno de da função e encontre os valores de para os quais a expansão é válida
b)Calcule a integral
com erro menor que
Passo 1
a)
Vamos pensar um pouco nesse logaritmo como uma função que é mais fácil de achar a expansão dela em série de potências, a gente sabe a integral que da um logaritmo:
Se a gente botar os limites que encontrem a nossa função, tá tudo certo, então olha ae:
Passo 2
Opa, olhando a cara de , lembramos muito da série geométrica, que da , vamos ver isso aqui, calma!
Série geométrica:
Então ok, vamos adotar como , logo o intervalo de convergência fica
Assim: ,e a série fica:
Então ficou assim:
Passo 3
Show! Achamos uma boa relação! Agora temos só que integrar esse cara!
Assim fica:
Perceba que o intervalo de convergência se manteve, ele é preservado na integração. Agora o ponto é, diferente da série geométrica, não podemos dizer o que acontece nos limites do intervalo, ou seja, quanto e , mas percebe que está elevado a uma potência quadrática, ou seja, tanto para quando para o
Passo 4
e
A série fica:
É uma série alternada, logo, pelo critério de Leibniz:
E é decrescente, logo a série é convergente! E assim sabemos que:
Mas enfim, então descobrimos que o intervalo de convergência é
Passo 5
b) Perceba que a integral tem o limite de integração , e isso , ou seja, podemos aproveitar o resultado da letra a)
Assim ficou:
É uma série alternada, que tem a seguinte característica:
Ou seja, ela é decrescente, e é fácil de ver que ela tende a quando , assim, concluímos que essa é uma série convergente! Então podemos usar a estimativa de erro para uma série alternada:
Onde representa a série infinita e representa a série truncada até o termo .
Assim:
Ajeitando:
Agora tem que ser no teste!
Para já temos a relação satisfeita Então ficou: