Derivação e Integração de Séries de Potência

Produzido por Carolina Saba
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Teoria

Introdução

Olá, galerinha! Lembra que uma das utilidades da séries de potência é representar funções? Exatamente, podemos escrever funções como séries de potências comparando com a série geométrica!

Vamos com um exemplo. Lembra que podemos descrever uma série geométrica com a seguinte soma,

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r ,   p a r a   t o d o   r < 1

Então, quando temos a seguinte função,

f x = 1 1 - x

A gente pode interpretar essa função como série de potência. Aí ela fica assim:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x ,   p a r a   t o d o   x < 1

Esse caso, a gente consegue perceber a semelhança e fazer direto, mas nem sempre será assim. Então se prepara que um desafio vai ser lançado.

Escreva a função abaixo em séries de potencias

f x = l n ⁡ ( 1 + x )

Não é uma comparação óbvia de ser encontrada! E é sobre isso que vamos falar nesse tópico.

Derivação e integração de séries

Quando a função não tiver uma cara parecida com a de uma serie geométrica, o que podemos fazer é manipular as funções (derivado e integrando) de forma que ela fique mais próxima da série geométrica.

Então vamos resolver o desafio seguindo um passo a passo! Olha a função aí de novo,

f x = l n ⁡ ( 1 + x )

Passo 1: Essa função não tem a mínima semelhança com a soma da série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar f ( x ) .

f ' x = 1 1 + x

Essa função derivada se parece muito com 1 1 - x , que a gente viu lá no ínicio do tópico, não é?

Passo 2: Vamos, então, escrever a função derivada como série de potências. Calma, você já vai entender por que.

f ' x = 1 1 + x = 1 1 - ( - x )

Como a razão é ( - x ) , temos:

f ' x = ∑ n = 0 ∞ - x n ,   p a r a   t o d o       x < 1

Passo 3: Mas o que queremos é a representação de f ( x ) , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:

∫ f ' x   d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - x n   d x

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n   d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n x n   d x

Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para f ( x ) . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa f ' ( x ) . Veja:

f x = ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1

OBS: A gente pode manipular dessa forma (derivando e integrando) se a nossa série de potência tiver um raio de convergência R > 0 .

Essa estratégia de derivar a função para depois integrar será muito útil para representar funções por séries. Então vamos praticar essas transformações com os exercícios!

Derivação e integração de séries

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