Encontre uma representação em série de potências para f , trace f e várias somas parciais s_n(x) na mesma tela. O que acontece quando n aumenta?

f(x) = ln(x^2 + 4)

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?!

Vamos resolver este problema passo a passo.

Primeiro, nosso objetivo é encontrar uma representação em série de potências para a função f x = ln ⁡ ( x 2 + 4 ) . A função envolve o algoritmo natural de uma expressão quadrática. Uma abordagem comum para encontrar a série de potências de uma função é manipular essa função para que ela se assemelhe a uma série de potências conhecida, como 1 1 - x , e então integrá-la termo a termo. Essa série de potências é conhecida e derivada da série geométrica. Sua representação é dada por:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 2

Para encontrar a série de potências para f x = ln ⁡ ( x 2 + 4 ) , começamos considerando a função ln ⁡ x + 4 . Primeiro, vamos reescrever a função de logaritmo em termos de uma integral:

ln ⁡ x + 4 = ∫ 1 x + 4   d x

Vamos manipular a fração 1 x + 4 para que ela se assemelhe à forma 1 1 - u , que é a série geométrica:

1 x + 4 = 1 4 - - x

= 1 4 1 - - x 4

Aplicando a definição de série geométrica na nossa função:

1 4 1 - - x 4 = ∑ n = 0 ∞ 1 4 - x 4 n

Como 1 4 é constante, podemos tirá-los do somatório:

1 4 ∑ n = 0 ∞ - x 4 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x n

Passo 3

Agora, podemos integrar termo a termo:

ln ⁡ x + 4 = ∫ 1 x + 4   d x

= ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x n   d x

Como a integral de uma soma é a soma de integrais, podemos escrever:

ln ⁡ x + 4 = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x n d x

Calculando a integral de cada termo:

∫ - 1 n 4 n + 1 x n d x = - 1 n 4 n + 1   .   x n + 1 n + 1

= - 1 n ( n + 1 ) 4 n + 1 x n + 1

Somando as integrais:

ln ⁡ ( x + 4 ) = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) 4 n + 1 x n + 1

Para determinar a constante de integração C , vamos considerar x = 0 :

ln ⁡ ( 4 ) = C

Portanto, a série fica:

ln ⁡ ( x + 4 ) = ln ⁡ ( 4 ) + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) 4 n + 1 x n + 1

Passo 4

Beleza! Agora, não faz diferença se trocarmos x por x 2 na equação acima, e assim descobriremos a expressão para f x :

ln ⁡ ( x 2 + 4 ) = ln ⁡ 4 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n + 1 x 2 n + 1 n + 1

f x = ln ⁡ 4 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) 4 n + 1 x 2 n + 2

Passo 5

Show! Agora vamos traçar f e primeiras somas parciais a partir da série de potências encontrada no passo anterior.

As primeiras somas parciais são:

s 0 x = ln ⁡ ( 4 ) + x 2 4 - x 4 32

s 1 x = ln ⁡ 4 + x 2 4 - x 4 32 + x 6 192

s 2 x = ln ⁡ 4 + x 2 4 - x 4 32 + x 6 192 - x 8 1024

Traçando os gráficos da função f x :

Perceba que, à medida que n aumenta, as somas parciais s n x se aproximam cada vez mais de f x no intervalo de convergência, ou seja, quando x < 2 . As somas parciais fornecem aproximações cada vez melhores da função f x dentro desse intervalo.

Resposta

f x = ln ⁡ 4 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( n + 1 ) 4 n + 1 x 2 n + 2

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