Série de Potência
Teoria
O que é uma Série de Potência?
Uma série de potência nada mais é do que um polinômio escrito na forma de um somatório. Por exemplo:
O detalhe das séries de potência é que o polinômio nunca tem fim, ou seja, a gente pode continuar escrevendo parcelas até o infinito. Então, uma série de potência é uma série de polinômios, ou seja, funções com infinitas parcelas e com diferentes potências que variam junto com seus coeficientes. Um somatório infinito de parcelas, que cresce variando o expoente da potência do
Aqui temos uma série de potência com infinitas parcelas, onde chamamos
Por exemplo, se
E se eu dissesse para você que
Legal, né?! Séries de potência são apenas polinômios infinitos.
Definição geral de Série de Potência
As séries de potência que vimos acima são apenas exemplos. A forma geral de uma série de potência é:
EITA! Quanto símbolo! Mas aqui no RespondeAí a gente analisa isso tudo com calma.
A gente já conhece o
Então se eu te dissesse, por exemplo, que
Que é exatamente o exemplo que vimos acima.
Um outro exemplo, seria um série centrada em
E assim por diante!
Então, vamos olhar de novo a definição da série de potência:
Então podemos dizer que:
: é o índice da série : representa os coeficientes do polinômio : é a variável : é o centro da série
Representação em série de potência
TA, MAS PARA QUE EU PRECISO APRENDER SÉRIES DE POTÊNCIA?
As séries de potência são importantes, porque somos capazes de utilizá-las para replicar funções em determinados intervalos do eixo
Por exemplo, a representação em série de potência da função seno centrada em
Eu sei que parece algo impossível de entender, mas chegaremos lá com calma.
Agora que temos uma série de potência, a gente pode expandir ela para qualquer valor de
Olha essa imagem que linda:
Nessa figura temos as aproximações da função seno utilizando a série de potências acima, com diferente número de parcelas, a legenda seria:
- Em vermelho, aproximação com 1 parcela
- Em laranja, aproximação com 3 parcelas
- Em amarelo, aproximação com 5 parcelas
- Em verde, aproximação com 7 parcelas
- Em azul, aproximação com 9 parcelas
- Em roxo, aproximação com 11 parcelas
- Em rosa, aproximação com 13 parcelas
- E em preto, a verdadeira função Seno
Repara que quanto mais aumentamos o número de parcelas, maior é o intervalo que nossa série de potência consegue representar da função seno. Teoricamente com infinitas parcelas, conseguiríamos representar toda a função, ou teríamos que descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência daquela série.
Ou seja para conseguirmos fazer tudo isso que estou lhe propondo, precisamos sempre estudar se a série é convergente ou divergente. E é por isso que estamos aqui.
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Exercícios
Aproveita e confere um de nossos vídeos de exercício do nosso tópico de Introdução à Série de Potência:
Encontra uma representação em série de potências para a função:
Definição geral de Série de Potência
Representação em série de potência
Exercícios
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.2 - 3
Ache a expansão em série de potências de em torno de
Passo 1
Bom, primeiro vamos reescrever de maneira esperta!
Passo 2
Veja então que tem a cara da função:
Com .
Que é exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão e primeiro termo igual a .
Passo 3
Então, temos que
Resposta
Exercício Resolvido #2
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 9(adaptado)
Encontre uma representação em série de potências para a função
Passo 1
Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!
Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:
Logo, vamos ver se conseguimos escrever de outra forma!
Que pode ser rescrito como
Passo 2
O segundo cara entre parênteses é a série geométrica, certo?
De forma que a gente fica com
Passo 3
Expandindo isso ficamos com
Beleza! Mas dá pra simplificar mais um pouco! É só lembrar que
E
De forma que , , , , vão aparecer duas vezes no nosso e o vai aparecer só uma vez! Assim
Resposta
Exercício Resolvido #3
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 10(adaptado)
Encontre uma representação em série de potências para a função
Passo 1
Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!
Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:
Logo, vamos ver se conseguimos escrever de outra forma!
Para , podemos dividir o numerador e o denominador por :
Continuamos não tendo nada que seja legal de ser comparado com a série geométrica... Então vamos fazer o seguinte,
Agora vamos escrever a fração como série de potências e multiplicar por , ficou bem mais fácil!
Passo 2
Comparando com a série geométrica, teremos
Passo 3
Por fim, vamos multiplicar por ,
Resposta
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.1 - 4(adaptado)
Calcule o termo geral da expansão em série de potências de da função abaixo
Passo 1
Se queremos escrever o termo geral em série de potências de , precisamos que apareça esse termo na nossa função. Então vamos começar escrevendo que:
E então veja que se escrevermos:
E resolvendo o sistema:
Encontramos: e .
Reescreveremos a função assim:
Passo 2
Como queremos que apareça o termo , vamos escrever que:
E agora repare que podemos escrever essa função como o valor da série geométrica, cuja razão será descoberta a seguir.
Colocando o em evidencia, podemos escrever a serie a assim:
Vamos fazer a mesma coisa pro :
E esses termos da forma:
São exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão e primeiro termo igual a . Portanto, podemos escrever que:
Passo 3
E agora voltando pra expressão de :
Agora vamos escrever a série juntando dos somatórios encontrados no passo anterior,
E colocando o termo que queremos em evidência: