Teoria

O que é uma Série de Potência?

Uma série de potência nada mais é do que um polinômio escrito na forma de um somatório. Por exemplo:

O detalhe das séries de potência é que o polinômio nunca tem fim, ou seja, a gente pode continuar escrevendo parcelas até o infinito. Então, uma série de potência é uma série de polinômios, ou seja, funções com infinitas parcelas e com diferentes potências que variam junto com seus coeficientes. Um somatório infinito de parcelas, que cresce variando o expoente da potência do até .

Aqui temos uma série de potência com infinitas parcelas, onde chamamos de coeficientes da série e nos exercícios vamos tentar descobrir os valores desses coeficientes.

Por exemplo, se , então a série de potência acima seria resumida dessa forma:

E se eu dissesse para você que , então teríamos que , , , ,... Logo:

Legal, né?! Séries de potência são apenas polinômios infinitos.

Definição geral de Série de Potência

As séries de potência que vimos acima são apenas exemplos. A forma geral de uma série de potência é:

EITA! Quanto símbolo! Mas aqui no RespondeAí a gente analisa isso tudo com calma.

A gente já conhece o que representa os coeficientes da série de potência e também já conhecemos o que é a variável da série de potência. A novidade é o que representa o centro da série de potência.

Então se eu te dissesse, por exemplo, que , e que ela é centrada em nossa série de potência seria resumida dessa forma:

Que é exatamente o exemplo que vimos acima.

Um outro exemplo, seria um série centrada em :

E assim por diante!

Então, vamos olhar de novo a definição da série de potência:

Então podemos dizer que:

  • : é o índice da série
  • : representa os coeficientes do polinômio
  • : é a variável
  • : é o centro da série

Representação em série de potência

TA, MAS PARA QUE EU PRECISO APRENDER SÉRIES DE POTÊNCIA?

As séries de potência são importantes, porque somos capazes de utilizá-las para replicar funções em determinados intervalos do eixo , isso é chamado de representação em série de potência. Ou seja, usando uma série de potência a gente pode aproximar uma função na forma de um polinômio.

Por exemplo, a representação em série de potência da função seno centrada em é:

Eu sei que parece algo impossível de entender, mas chegaremos lá com calma.

Agora que temos uma série de potência, a gente pode expandir ela para qualquer valor de . Quanto mais parcelas a gente utilizar na nossa representação, mais perfeita será a aproximação. E com infinitas parcelas, a representação em série de potência deve ser igual

Olha essa imagem que linda:

Exemplo de série de potência
Exemplo de série de potência

Nessa figura temos as aproximações da função seno utilizando a série de potências acima, com diferente número de parcelas, a legenda seria:

  • Em vermelho, aproximação com 1 parcela
  • Em laranja, aproximação com 3 parcelas
  • Em amarelo, aproximação com 5 parcelas
  • Em verde, aproximação com 7 parcelas
  • Em azul, aproximação com 9 parcelas
  • Em roxo, aproximação com 11 parcelas
  • Em rosa, aproximação com 13 parcelas
  • E em preto, a verdadeira função Seno

Repara que quanto mais aumentamos o número de parcelas, maior é o intervalo que nossa série de potência consegue representar da função seno. Teoricamente com infinitas parcelas, conseguiríamos representar toda a função, ou teríamos que descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência daquela série.

Ou seja para conseguirmos fazer tudo isso que estou lhe propondo, precisamos sempre estudar se a série é convergente ou divergente. E é por isso que estamos aqui.

Muita coisa legal né? Se você assinar nosso conteúdo vai encontrar um assunto com tudo que você precisa saber sobre série de potências, com exercícios resolvidos e conteúdos em vídeo e tudo para você mandar bem nas suas provas de Cálculo.

Exercícios

Aproveita e confere um de nossos vídeos de exercício do nosso tópico de Introdução à Série de Potência:

Encontra uma representação em série de potências para a função:

Definição geral de Série de Potência

Representação em série de potência

Exercícios

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