Série de Potência
Produzido por Carolina SabaTeoria
O que é uma Série de Potência?
Uma série de potência nada mais é do que um polinômio escrito na forma de um somatório. Por exemplo:
O detalhe das séries de potência é que o polinômio nunca tem fim, ou seja, a gente pode continuar escrevendo parcelas até o infinito. Então, uma série de potência é uma série de polinômios, ou seja, funções com infinitas parcelas e com diferentes potências que variam junto com seus coeficientes. Um somatório infinito de parcelas, que cresce variando o expoente da potência do
Aqui temos uma série de potência com infinitas parcelas, onde chamamos
Por exemplo, se
E se eu dissesse para você que
Legal, né?! Séries de potência são apenas polinômios infinitos.
Definição geral de Série de Potência
As séries de potência que vimos acima são apenas exemplos. A forma geral de uma série de potência é:
EITA! Quanto símbolo! Mas aqui no RespondeAí a gente analisa isso tudo com calma.
A gente já conhece o
Então se eu te dissesse, por exemplo, que
Que é exatamente o exemplo que vimos acima.
Um outro exemplo, seria um série centrada em
E assim por diante!
Então, vamos olhar de novo a definição da série de potência:
Então podemos dizer que:
: é o índice da série : representa os coeficientes do polinômio : é a variável : é o centro da série
Representação em série de potência
TA, MAS PARA QUE EU PRECISO APRENDER SÉRIES DE POTÊNCIA?
As séries de potência são importantes, porque somos capazes de utilizá-las para replicar funções em determinados intervalos do eixo
Por exemplo, a representação em série de potência da função seno centrada em
Eu sei que parece algo impossível de entender, mas chegaremos lá com calma.
Agora que temos uma série de potência, a gente pode expandir ela para qualquer valor de
Olha essa imagem que linda:

Nessa figura temos as aproximações da função seno utilizando a série de potências acima, com diferente número de parcelas, a legenda seria:
- Em vermelho, aproximação com 1 parcela
- Em laranja, aproximação com 3 parcelas
- Em amarelo, aproximação com 5 parcelas
- Em verde, aproximação com 7 parcelas
- Em azul, aproximação com 9 parcelas
- Em roxo, aproximação com 11 parcelas
- Em rosa, aproximação com 13 parcelas
- E em preto, a verdadeira função Seno
Repara que quanto mais aumentamos o número de parcelas, maior é o intervalo que nossa série de potência consegue representar da função seno. Teoricamente com infinitas parcelas, conseguiríamos representar toda a função, ou teríamos que descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência daquela série.
Ou seja para conseguirmos fazer tudo isso que estou lhe propondo, precisamos sempre estudar se a série é convergente ou divergente. E é por isso que estamos aqui.
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Exercícios
Aproveita e confere um de nossos vídeos de exercício do nosso tópico de Introdução à Série de Potência:
Encontra uma representação em série de potências para a função: