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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.8 - Ex. 1

O que é uma série de potências?

Passo 1

Vamos lá galerinha, questão basicamente conceitual que nos pede para explicar o conceito de série de potências.

Basicamente é uma série do tipo:

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯

Onde x é uma variável e os c n ’s são constantes chamadas de coeficientes.

Assim como aprendemos que a x 2 + b x + c é um polinômio de grau 2, podemos enxergar uma sére de potências como um polinômio de grau infinito!

Também podemos encontrar uma série de potências escrita da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n = c 0 + c 1 x - a + c 2 x - a 2 + c 3 x - a 3 + ⋯

Neste caso, teremos uma série de potências centrada em a .

O principal aspecto de uma série de potência é a existência de uma variável, e por isso sua convergência ou divergência é definida em um raio de convergência. (Ou seja, para alguns valores da variável ela pode ser convergente enquanto pode ser divergente para outros).

Passo 2

Vamos para uma definição mais formal?? Veja abaixo:

Podemos escrever alguns exemplos de algumas séries de potências:

  1. ∑ n → ∞ ∞ x n

  2. ∑ n → ∞ ∞ n ! x n

∑ n → ∞ ∞ x - 3 n n  

Perceba que todos os exemplos possuem uma variável x .

Resposta

É uma série que possui variáveis x . E que para cada valor fixo de x . Podemos testar sua convergência/divergência.

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a ) O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra? b ) O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .21. ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2
Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.19. ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .22. ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2
Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.20. ∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k