Cálculo de Transformada de Laplace
Teoria
Introdução
Aqui a gente vai ver como calcular a transformada de Laplace. Lá na frente, ela vai nos ajudar a resolver EDOs de uma forma bem tranquila, então é importante que a gente aprenda esses conceitos aqui. Vamos lá!
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é uma transformação de uma função que vamos chamar de em outra função que vamos chamar de . Como?
Não, não! Fazemos essa transformação usando essa integral aqui:
Ou seja, toda vez que quisermos a transformada de uma função , devemos realizar essa integral.
Fica atento a uma coisa: o domínio da função são os valores de , enquanto o domínio de são os valores de . Então, se ao realizar a integral você permanecer com , refaz porque tem algum erro.
Mas como calculo a transformada de Laplace?
Tá, mas e aí? Vamos calcular nossa primeira transformada de Laplace. Imagina que temos a função .
Temos:
Onde você pode usar tanto a notação com o comum quanto com o cursivo. Aqui nós vamos dar preferência para o a notação cursiva pois é a mais usual, mas de vez em quando vocês podem ver a outra também 😉
Voltando para a integral, como é que eu faço com aquele infinito no integrando? Isso se chama integral imprópria e você deve ter visto em cálculo I, mas vamos relembrá-las agora.
Integrais impróprias são integrais com intervalo ilimitado. Nós as resolvermos pelo seguinte princípio:
Ou seja, calculamos a integral com intervalo limitado e tomamos o limite do resultado. Então, se esse limite existir (se encontrarmos um número), a integral converge. Caso contrário, ela diverge.
Então:
Tomando o limite:
Portanto, podemos dizer que a Transformada de Laplace de é igual a :
Era melhor que fosse mágica né? Dá um trabalhinho bom ficar resolvendo essas integrais toda vez, mas tem algumas que sempre estão aparecendo e que fica bem melhor se a gente já decorar. Faz uma tabelinha aí no canto do caderno pra elas serem fáceis de encontrar quando a gente precisar. Com o tempo a gente decora.
Transformadas que você precisa conhecer
A transformada é uma integral!
Até aqui já vimos como calcular a transformada e algumas transformadas mais comuns para acelerar nossa vida, mas tem um detalhe que vai nos ajudar nas questões precisamos ver:
Já vimos que:
Show, mas e daí? O fato da transformada de Laplace ser uma integral nos dá vantagens bem legais. Veja:
A transformada de Laplace de uma constante vezes uma função:
É igual a mesma constante vezes a transformada de Laplace da função.
A transformada de Laplace de uma função mais outra
É igual à soma das transformadas das funções. O mesmo raciocínio serve para a subtração dessas funções.
Ou seja, de um modo bem geral:
Para e constantes.
A gente chama essas propriedades de linearidade da transformada de Laplace. Mas o nome mesmo não é interessante. Daqui a pouco vamos estar trabalhando com várias transformada já decoradas e não vamos ficar integrando o tempo todo, mas é importante nunca esquecer que a transformada é uma integral então tem as mesmas propriedades das integrais.
Fórmulas importantes do capítulo
Pronto! Já sabemos o princípio de como calcular transformadas de Laplace. Vamos juntar aqui o que você vai precisar usar nas questões:
Beleza? Partiu exercícios!
Mas como calculo a transformada de Laplace?
Transformadas que você precisa conhecer
A transformada é uma integral!
Fórmulas importantes do capítulo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria.
Calcule, pela definição da Transformada de Laplace, .
Passo 1
A definição da Transformada de Laplace é a seguinte:
Podemos escrever então
Passo 2
Vamos agora calcular essa integral. Não conseguimos fazer uma integração direta de cara, não é? Vamos tentar então integrar por partes. Temos:
Para definirmos quem é e quem é , vamos usar aquele macete do LIATE. Com isso, temos que a função algébrica (polinômio) tem preferência para ser chamada de . Então fica assim,
Substituindo esses valores
Resolvendo a parte da integral temos,
Lembrando e são constantes, pois estamos integrando em função de .
Seguindo com a resolução, ficamos com
Passo 3
Vamos agora tomar o limite dessa expressão que encontramos.
Bem, como a última fração não tem nenhum , podemos tirar ela do limite.
Agora vamos analisar com calma. Se fizermos , teremos a exponencial tendendo pra infinito e o termo tendendo para infinito também! Então daria uma indeterminação de cara!
Por outro lado, quando , o da exponencial fica com um sinal de negativo e ela vai tender pra ! Repara só, eu separei os termos do limite para visualizar melhor
Como, o meu expoente sera negativo, o limite que tá no meio da expressão vai zerar. Aí ficamos assim,
O limite que sobrou cai em uma indeterminação do tipo . Com isso, não podemos aplicar L’Hopital, mas vamos rescrever o limite dessa forma,
Agora caímos em uma indeterminação do tipo e podemos usar L’Hospital. Derivando o numerador e o denominador, temos:
Então, encontramos:
Eu sei que esse resultado é diferente do que aparece na tabela. Vamos fazer umas Matemáticas:
Show?
Resposta
Exercício Resolvido #2
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 179-25. MODIFICADO
Encontre a transformada de Laplace da função abaixo:
Passo 1
Legal, vamos usar a definição:
Se a gente separar os intervalos da integral, dá para substituir a expressão:
Que vai ficar:
Pronto, é só isso :D
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria.
Calcule , onde
Passo 1
Queremos>
Sabemos que:
Aplicando essa fórmula:
Passo 2
Temos:
Aplicando ao problema:
Passo 3
Substituindo esses valores, então:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria.
Calcule , onde
Passo 1
Queremos:
Essa questão é basicamente aplicação de fórmulas. Sabemos que:
Logo:
Passo 2
Temos também
Aplicando isso à nossa questão:
Passo 3
Agora é só substituir os valores: