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Exercícios Resolvidos de Casos especiais - Lugar geométrico das raízes

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Exercício 71234568

Enunciado

Determine os pontos de entrada e saída do lugar de saída de um sistema com realimentação unitária e função de transferência:

G s = K ( s - 3 ) ( s - 5 ) ( s + 1 ) ( s + 2 )

Passo 1

Para obter os posntos de entrada e saída, primeiramente devemos encontrar a expressão para K , para em seguida poder maximizá-la/minimizá-la:

1 + G s = 0

1 + K ( s - 3 ) ( s - 5 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) = 0

Isolando K :

K = - s + 1 s + 2 s - 3 s - 5 = - s 2 + 3 s + 2 s 2 - 8 s + 15

Passo 2

Agora só precisamo substituir s por σ e derivar a expressão encontrada:

K = - σ 2 + 3 σ + 2 σ 2 - 8 σ + 15

d K d σ = 11 σ 2 - 26 σ - 61 σ 2 - 8 σ + 15 2

Passo 3

Para encontrar os pontos onde o lugar das raízes entra/sai do eixo real, precisamos maximizar/minizar a função K , ou seja, encontrar os valores de σ que anulam a sua derivada.

d K d σ = 11 σ 2 - 26 σ - 61 σ 2 - 8 σ + 15 2 = 0

11 σ 2 - 26 σ - 61 = 0

σ = - 26 ± - 26 2 + 4 * 11 * 61 2 * 11

Sendo assim:

σ 1 - 1,45

σ 2 = 3,82

Resposta

σ 1 - 1,45

σ 2 = 3,82