Esboce o lugar geométrico das raízes para um sistema com realimentação unitária positiva e a seguinte função de transferência em malha aberta:
Passo 1
Trata-se de um sistema com realimentação positiva. Isso quer dizer que todas as regras que usamos até aqui são válidas com exceção de duas: o lugar das raízes existe no eixo dos reais se à sua esquerda existir uma quantidade par de polos e zeros, e a soma de todos os ângulos em qualquer ponto do lugar das raízes é um múltiplo par de .
Vamos começar, como sempre, representando os nossos polos e zeros no diagrama. Nesse exercício temos dois polos: e .
Passo 2
Nesse caso, temos três polos a mais que zeros, o que significa que vamos ter três zeros no infinito, e que precisaremos de duas assíntotas para nos mostrar onde esses zeros no infinito se encontram. Como é um sistema de realimentação positiva, a fórmula do ângulo da assíntota é um pouquinho diferente:
Repare que se , o ângulo é igual a , se , o ângulo será , se , o ângulo será e se r continuar aumentando, esses ângulos vão se repetir.
Sendo assim, teremos duas assíntotas sobre o eixo dos reais, cada uma apontando para uma direção.
Agora, vamos calular onde essas assíntotas interceptam o eixo dos reais para podermos representa-las:
Vamos representar as assíntoas agora:
Uma assíntota tem inclinação , outra , e uma terceira tem inclinação e está sobre o eixo dos reais. Além disso essas assíntotas interceptam o eixo dos reais em .
Passo 3
Agora, já temos tudo que precisamos e podemos fazer nosso esboço, olha só:
Como é um sistema de realimentação positiva, o lugar das raízes só existe se à sua direita houver um número par de polos e zeros. Além disso todas as outras regras foram satisfeitas: o número de ramos é igual ao número de polos, cada ramo nasce em um polo e morre em um zero e a simetria em relação ao eixo dos reais foi respeitada.
Nesse problema, a gente tinha três polos a mais que zero, e por isso três ramos tenderam aos zeros no infinito que são determinados pelas assíntotas.
Resposta
