Enunciado

Na Seção 2.6 foi observado que a energia de ligação resultante E L entre dois íons isolados, um positivo e o outro negativo, é uma função da distância interiônica r de acordo com:

1 E L = - A r + B r n

Em que A e B e n são constantes para o par de íons específico. A equação 6.25 também é válida para a energia de ligação entre íons adjacentes nos materiais sólidos. O módulo de elasticidade E é proporcional à inclinação da curva força interiônica-separação na separação interiônica de equilíbrio; isto é,

E ∝ d F d r r 0

Desenvolva uma expressão para a dependência do módulo de elasticidade em relação a esses parâmetros A, B e n (para o sistema com dois íons) respeitando o seguinte procedimento:

  1. Estabeleça uma relação para a força F em função de r, tendo em mente que F = d E L d r
  2. Em seguida, faça a derivada d F / d r .
  3. Desenvolva uma expressão pra r 0 , a separação de equilíbrio. Uma vez que r 0 corresponde ao valor de r no ponto mínimo da curva de E L em função de r (Figura 2.8b). Faça a derivada d E L / d r , iguale a derivada a zero e resolva para r , que corresponderá a r 0 .
  4. Finalmente, substitua essa expressão para r 0 na relação que foi obtida ao fazer d F / d r .

Passo 1

Pra resolver essa questão, a gente vai seguir o procedimento que foi dado pelo enunciado! Começando então pelo passo 1, onde precisaremos integrar:

F = d E L d r   → F d r = d E L

∫ F d r = ∫ d E L   → F . r = E L

F = E L r

Passo 2

Pra seguir pro passo 2, a gente tem que colocar E L como uma função de r. Pra isso vamos inverter a expressão lá de cima do enunciado!

1 E L = - A r + B r n → E L = - 1 A r + B r n

Agora que temos a expressão de E L , vamos substituir na função de F pra podermos derivar.

F = E L r   → F = - 1 A r + B r n r = - 1 A + B r n - 1  

Derivando:

d F d r = - B n - 1 r n ( A r n + B r ) ²

Passo 3

Pra chegar na expressão de r 0 , vamos derivar E L e igualar a 0, uma vez que r 0 é o ponto mínimo de E L :

E L = - 1 A r + B r n → d E L d r = r n ( A r n + B n r ) ( A r n + B r ) ²

r n ( A r n + B n r ) ( A r n + B r ) ² = 0 → r n A r n + B n r = 0

A r n = - B n r   → r n = - B n r A

Como para esse caso r = r 0 , temos:

r 0 n - 1 = - B n A

Passo 4

Como queremos um valor pra E, e E ∝ d F d r r 0 , vamos substituir a expressão pra r 0 na expressão encontrada no passo 2, mas como nessa expressão só temos r n , vamos dividir em cima e em baixo por r!

d F d r = - B n - 1 r n A r n + B r 2 → d F d r = - B n - 1 r n - 1 A r n - 1 + B 2

Agora substituindo a expressão r 0 :

d F d r = - B n - 1 - B n A A - B n A + B 2 → d F d r = B ² n n - 1 A - B n + B 2

d F d r = B 2 n n - 1 A B 1 - n 2   → d F d r = B ² n n - 1 A - B ( n - 1 ) 2

d F d r = B ² n n - 1 A B ² ( n - 1 ) ² → d F d r = n A ( n - 1 )

Finalmente:

d F d r = n A ( n - 1 ) →     E ∝   n A ( n - 1 )

Resposta

E ∝   n A ( n - 1 )

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